Retrakt deformacyjny

Retrakt deformacyjny – specjalny rodzaj retraktu przestrzeni topologicznej. Intuicyjnie, retrakt deformacyjny przestrzeni $X$ to taka jej podprzestrzeń $Y,$ że $X$ daje się w sposób ciągły „skurczyć” do $Y.$

Definicja

Podprzestrzeń $Y$ przestrzeni $X$ (poprzez $i:Y\hookrightarrow X$ oznaczamy naturalne włożenie) nazywamy retraktem deformacyjnym przestrzeni $X,$ o ile istnieje przekształcenie $r:X\to Y,$ nazywane retrakcją deformacyjną, spełniające warunki:

1. $r\circ i=\operatorname {id} _{Y}$ (tzn. $r$ jest retrakcją z $X$ do $Y$),
2. $i\circ r:X\to X$ jest homotopijne z $\operatorname {id} _{X}.$

Jeżeli homotopia z warunku 2. jest stała na zbiorze $Y\times [0,1],$ to $Y$ nazywamy mocnym retraktem deformacyjnym $X.$ Część autorów retraktami deformacyjnymi nazywa jedynie mocne retrakty deformacyjne.

Równoważnie retrakcję deformacyjną można zdefiniować jako rodzinę przekształceń ciągłych $\{f_{t}\}_{t\in [0,1]}$ taką, że:

1. $\forall _{t\in [0,1]}f_{t}:X\to X,$
2. $f_{0}=\operatorname {id} _{X},$
3. $\forall _{x\in X}f_{1}(x)\in Y,$
4. odwzorowanie $F:X\times [0,1]\to X$ zadane wzorem $F(x,t)=f_{t}(x)$ jest ciągłe.

Jeśli ponadto $\forall _{t\in [0,1]}f_{t}|_{Y}=\operatorname {id} _{Y},$ to rodzinę $\{f_{t}\}_{t\in [0,1]}$ nazywamy mocną retrakcją deformacyjną.

Własności

• Mocny retrakt deformacyjny jest retraktem deformacyjnym.
• Retrakt deformacyjny przestrzeni jest jej homotopijnie równoważny.
• Przestrzeń topologiczna jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny jej punkt jest retraktem deformacyjnym tej przestrzeni. Można jednak podać przykład przestrzeni ściągalnej takiej, że żaden jej punkt nie jest mocnym retraktem deformacyjnym tej przestrzeni.
• Dwie przestrzenie topologiczne $X,Y$ są homotopijnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przestrzeń $Z$ taka, że $X$ i $Y$ są retraktami deformacyjnymi $Z.$