Retrakt deformacyjny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Retrakt deformacyjny - specjalny rodzaj retraktu przestrzeni topologicznej. Intuicyjnie, retrakt deformacyjny przestrzeni to taka jej podprzestrzeń , że daje się w sposób ciągły "skurczyć" do .

Definicja[edytuj]

Podprzestrzeń przestrzeni (poprzez oznaczamy naturalne włożenie) nazywamy retraktem deformacyjnym przestrzeni , o ile istnieje przekształcenie , nazywane retrakcją deformacyjną, spełniające warunki:

  1. (tzn. jest retrakcją z do ),
  2. jest homotopijne z .

Jeżeli homotopia z warunku 2. jest stała na zbiorze , to nazywamy mocnym retraktem deformacyjnym . Część autorów retraktami deformacyjnymi nazywa jedynie mocne retrakty deformacyjne.

Równoważnie retrakcję deformacyjną można zdefiniować jako rodzinę przekształceń ciągłych taką, że:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. odwzorowanie zadane wzorem jest ciągłe.

Jeśli ponadto , to rodzinę nazywamy mocną retrakcją deformacyjną.

Własności[edytuj]

  • Mocny retrakt deformacyjny jest retraktem deformacyjnym.
  • Retrakt deformacyjny przestrzeni jest jej homotopijnie równoważny.
  • Przestrzeń topologiczna jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny jej punkt jest retraktem deformacyjnym tej przestrzeni. Można jednak podać przykład przestrzeni ściągalnej takiej, że żaden jej punkt nie jest mocnym retraktem deformacyjnym tej przestrzeni.
  • Dwie przestrzenie topologiczne są homotopijnie równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przestrzeń taka, że i są retraktami deformacyjnymi .