Przestrzeń topologiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń topologicznazbiór X wraz z wyróżnioną rodziną τ podzbiorów tego zbioru spełniających odpowiednie własności zwane aksjomatami topologii. Rodzina τ nazywana jest topologią na zbiorze X, a jej elementy nazywane są zbiorami otwartymi w X. Dopełnienia zbiorów otwartych nazywane są zbiorami domkniętymi. W niepustym zbiorze można wyróżnić wiele różnych topologii.

Przestrzeń topologiczną jest metryzowalna, gdy istnieje taka metryka metryka d na X, że każdy niepusty zbiór otwarty w X można przedstawić jako sumę pewnej rodziny kul otwartych względem metryki d. Nie wszystkie przestrzenie topologiczne są jednak metryzowalne – stąd pojęcie przestrzeni topologicznej jest ogólniejsze od pojęcia przestrzeni metrycznej. Intuicyjnie, pojęcie topologii umożliwia określenie, czy dany punkt przestrzeni X „styka się” z danym podzbiorem lub jest od niego "odizolowany", czy leży w jego "wnętrzu" lub na "obrzeżach".

Przestrzenie topologiczne pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki takich jak analiza matematyczna, teoria porządków (zob. topologia porządkowa) czy geometria algebraiczna (zob. topologia Zariskiego). Pojęcie topologii jest podstawowym pojęciem topologii ogólnej.

Motywacja[edytuj]

Niezmienniki przestrzeni topologicznych to własności zachowujące się mimo przekształceń homeomorficznych, tj. bez rozrywania i sklejania: kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi.

Wiele własności obiektów rozważanych w analizie matematycznej można scharakteryzować za pomocą zbiorów otwartych. Przykładowo:

1) Ogólna definicja ciągłości funkcja wymaga odwołania się do zbiorów otwartych, np. funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz dowolnego otwartego zbioru jest otwarty.

2) W przestrzeni metrycznej kulę otwartą (O, R) definiuje się jako zbiór punktów odległych od danego punktu O o mniej niż zadana odległość R. Zbiory otwarte definiuje się wtedy jako sumy (również nieprzeliczalne) takich kul. Np. kulami otwartymi na prostej są przedziały otwarte, np. (2, 7), zaś zbiorami otwartymi – ich sumy. Podzbiory otwarte prostej rzeczywistej mają szereg ważnych własności, m.in.

  • cała prosta jest zbiorem otwartym,
  • część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
  • suma przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
  • w szczególności otwarty jest też zbiór pusty, gdyż jest sumą pustej rodziny zbiorów otwartych.

Powyższe własności zbiorów otwartych prostej łatwo uogólniono na dowolne przestrzenie metryczne.

Okazało się, że niekiedy użyteczniejsza jest sama struktura zbiorów otwartych, a nie metryka, którą zakładano w definicji zbiorów otwartych. Przestrzeń topologiczna stanowi właśnie uogólnienie przestrzeni metrycznej w tym duchu:

Przestrzeń topologiczna jest to przestrzeń z zadanymi z góry zbiorami otwartymi, a przyjęte własności rodziny zbiorów otwartych to niezbędne minimum do budowy nietrywialnej, a zarazem spójnej teorii.

Najbardziej interesujące są niezmienniki, czyli własności przestrzeni topologicznych zachowywane przez pewną klasę przekształceń tych przestrzeni; własności te umożliwiają klasyfikację przestrzeni topologicznych. Podstawowym rodzajem przekształcenia topologicznego jest homeomorfizm, który intuicyjnie może rozciągać, ściskać, skręcać przestrzeń, ale jej nie rozrywa, ani nie sklejania. Niezmienniki homeomorfizmów nazywa się niezmiennikami topologicznymi, dlatego przestrzenie między którymi istnieje homeomorfizm, są topologicznie równoważne lub homeomorficzne; z kolei jeśli między dwiema przestrzeniami nie można wskazać homeomorfizmu, uważa się je za topologicznie odróżnialne lub odmienne. Aby wykazać, że dwie przestrzenie są różne z punktu widzenia topologii wystarczy wskazać niezmiennik jednej z nich, którego druga nie ma. Do niezmienników topologicznych należą m.in. zwartość, ośrodkowość i spójność (lecz nie zupełność, która jest niezmiennikiem metrycznym), czy różne aksjomaty oddzielania. Są one obiektem badań topologii ogólnej

Innym ważnym przekształceniem przestrzeni topologicznych jest słabsza od homeomorfizmu homotopia wskazująca homotopijną równoważność dwóch przestrzeni, przykładami niezmienników jest np. drogowa spójność, jednospójność, izomorficzność (singularnych) grup homologii i grup kohomologii, czy izomorficzność grup podstawowych i wyższych grup homotopii jednospójnych przestrzeni topologicznych. Ich badaniem zajmuje się przede wszystkim topologia algebraiczna.

Aksjomaty topologii[edytuj]

Cztery przykłady i dwa kontrprzykłady topologii utworzonych na zbiorze o trzech elementach {1,2,3}. U dołu pokazano zbiory podzbiorów, które nie są topologiami: z lewej brakuje sumy podzbiorów {2} i {3} [tj. {2,3}], z prawej zaś brakuje części wspólnej podzbiorów {1,2} i {2,3} [tj. {2}].

Niech dany będzie zbiór i niech będzie rodziną podzbiorów zawartych w spełniającą następujące warunki[1]:

,
  • część wspólna dowolnych dwóch zbiorów należących do τ także należy do τ:
,
  • suma dowolnej rodziny zbiorów należących do τ także należy do τ
.

Rodzina nazywana jest topologią na zbiorze X lub rodziną zbiorów otwartych.

Elementy rodziny τ nazywane są zbiorami otwartymi, ich dopełnienia do zbioru X nazywane są zbiorami domkniętymi. Zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte, nazywane są zbiorami otwarto-domkniętymi, takim zbiorami są np. zbiór X oraz zbiór pusty.

Parę uporządkowaną (X, τ) składającą się ze zbioru X oraz topologii τ nań określonej nazywa się przestrzenią topologiczną.

Uwaga

Drugi warunek definiujący rodzinę można przez indukcję uogólnić na iloczyn dowolnej skończonej liczby zbiorów należących do .

Jednak uogólnienie drugiego warunku na nieskończone iloczyny zbiorów rodziny spowoduje zmianę teorii. Efektem będzie to, że rodzina będzie zbyt "duża". Jeśli przyjmiemy, że do należą np. dowolne przedziały „bez końców” (a,b), to tym samym zagwarantujemy, że do będą należeć także np. zbiory

.

Oczywiście z należenia do przedziałów „z końcami” [a,b] wynika należenie do np. przedziałów , bo to gwarantuje trzeci warunek z nieskończonym dodawaniem. Ostatecznie oznaczałoby to, że przy takiej zmodyfikowanej aksjomatyce przedziały byłyby nieodróżnialne. A taka aksjomatyka byłaby zupełnie nieprzydatna z punktu widzenia topologii.

Z drugiej strony ograniczenie obu warunków na skończone operacje uniemożliwiłoby np. poprawne zdefiniowanie wnętrza i domknięcia zbioru.

To razem pokazuje, że skuteczność aksjomatyki rodziny zbiorów otwartych wynika z pewnej „asymetrii” aksjomatów.

Pojęcia[edytuj]

 Osobne artykuły: wnętrze, domknięciebrzeg.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna . Wnętrzem [a] zbioru nazywa się największy (w sensie zawierania) zbiór otwarty zawarty w ; z kolei domknięcie [a] zbioru to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór , tzn.

oraz

.

Brzegiem (oznaczanym też )[a] zbioru nazywa się różnicę domknięcia i wnętrza tego zbioru (dopełnienie wnętrza względem domknięcia zbioru), tj.

Operacje wnętrza, domknięcia i brzegu są idempotentne. Ponadto operacje wnętrza i domknięcia są do siebie dualne w następującym sensie:

  • dopełnienie domknięcia jest wnętrzem dopełnienia,
  • dopełnienie wnętrza jest domknięciem dopełnienia,
    ;
  • zbiór jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy
  • zbiór jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy

gdzie oznacza dopełnienie zbioru (względem ).

Przykłady[edytuj]

W dowolnym zbiorze można wprowadzić wiele różnych topologii, np:

  • topologia antydyskretna, w której jedynymi zbiorami otwartymi są zbiór pusty i cała przestrzeń .
  • topologia dyskretna, w której wszystkie podzbiory zbioru są otwarte czyli topologią jest zbiór potęgowy zbioru .
  • niech jest zbiorem nieskończonym, niech oznacza moc zbioru , niech (czyt. alef zero) oznacza najmniejszą z mocy zbiorów nieskończonych (równą mocy zbioru liczb naturalnych); podane niżej rodziny podzbiorów zbioru są topologiami:
    • topologia dopełnień skończonych, w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest skończone,
      ;
    • topologia dopełnień przeliczalnych, w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest przeliczalne,
      ;
    • topologia zbiorów skończonych, do których nie należy wyróżniony punkt
      .

Topologie często używane jako kontrprzykłady na stawiane przez matematyków hipotezy, np. miotełka Knastera–Kuratowskiego, płaszczyzna Niemyckiego, prosta Sorgenfreya, przestrzeń Apperta, rogata sfera Alexandera. Opis nietypowych topologii można znaleźć w monografii Steena i Seebacha[2].

Sposoby wprowadzania topologii[edytuj]

Oprócz podanej w sekcji Aksjomaty przestrzeni topologicznej metody definiowania topologii istnieją inne, równoważne metody jej wprowadzania. Oto kilka z nich.

Rodzina zbiorów domkniętych[edytuj]

Niech rodzina podzbiorów spełnia warunki:

  1. ,
  2. suma skończenie wielu zbiorów z należy do ,
  3. część wspólna dowolnej mnogości zbiorów z należy do .

Istnieje wówczas jedyna topologia zbiorów otwartych na taka, że jej zbiory są dopełnieniami zbiorów rodziny . W związku z tym nazywana jest rodziną zbiorów domkniętych.

Uwaga

Elementy należące do nazwane są tutaj zbiorami domkniętymi i są one dopełnieniami zbiorów zdefiniowanych aksjomatyką zbiorów otwartych. Aksjomatyka zbiorów domkniętych jest w gruncie rzeczy zastosowaniem praw De Morgana do aksjomatyki zbiorów otwartych, dlatego dopełnienie nieskończonej sumy zbiorów otwartych „zamienia się” w nieskończony iloczyn ich dopełnień, a dopełnienie skończonego iloczynu zbiorów otwartych „zamienia się” w skończone dodawanie ich dopełnień.

Operacja wnętrza[edytuj]

Niech będzie ustalona funkcja spełniająca dla dowolnych następujące warunki:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
Twierdzenie Kuratowskiego
  • rodzina jest topologią na ,
  • dla dowolnego .

Funkcję nazywa się operacją wnętrza dla topologii (lub operacją Kuratowskiego).

Operacja domknięcia[edytuj]

Niech będzie ustalona funkcja spełniająca dla dowolnych następujące warunki:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
Twierdzenie Kuratowskiego
  • rodzina jest topologią na ,
  • dla dowolnego .

Funkcję nazywa się operacją domknięcia dla topologii .

Bazy topologii[edytuj]

Niech rodzina podzbiorów zbioru spełnia warunki:

  1. jeśli oraz , to można znaleźć taki że ,
  2. dla każdego można znaleźć takie że ,

Istnieje wówczas (jedyna) topologia na taka, że rodzina jest bazą tej topologii.

Przykładowo, jeśli jest zbiorem wszystkich ideałów pierwszych pierścienia , to w można określić topologię, której bazą jest zbiór

, gdzie .

Innym przykładem może być przestrzeń topologiczna z bazą

, gdzie .

Baza otoczeń[edytuj]

Niech jest rodziną podzbiorów zbioru taką, że:

  1. dla każdego , i dla każdego mamy ,
  2. jeśli , , to istnieje takie, że ,
  3. dla każdych , , można znaleźć takie, że .

Niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów , które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny . Wówczas jest topologią na i jest systemem (bazą) otoczeń otwartych dla tej topologii.

Porównywanie topologii[edytuj]

W danym zbiorze można określić wiele topologii; jeżeli każdy zbiór otwarty w sensie topologii (tzn. element rodziny) należy również do to mówi się, że jest mocniejsza od a topologia jest słabsza od

Rodzina wszystkich topologii na danym zbiorze tworzy kratę zupełną z działaniami

dla

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Konstrukcje topologiczne[edytuj]

Każdy podzbiór przestrzeni topologicznej można wyposażyć w topologię podprzestrzeni, w której zbiory otwarte są przekrojami zbiorów otwartych przestrzeni z danym podzbiorem. Dla dowolnej rodziny indeksowanej przestrzeni topologicznych ich produkt może być wyposażony w topologię produktową, która jest generowana przez przeciwobrazy zbiorów otwartych czynników w przekształceniach rzutów. Przykładowo, w produktach skończonych, baza topologii produktowej składa się ze wszystkich produktów zbiorów otwartych. Dla produktów nieskończonych istnieje dodatkowy warunek, iż w zbiorze otwartym z bazy wszystkie poza skończenie wieloma z jego rzutów są całą przestrzenią.

Przestrzeń ilorazowa zdefiniowana jest następująco: jeśli jest przestrzenią topologiczną, zaś jest dowolnym zbiorem, a jest funkcją suriektywną, to topologią ilorazową na jest rodzina podzbiorów które mają otwarte przeciwobrazy w Innymi słowy topologia ilorazowa jest najbogatszą topologią na w której jest ciągłe. Popularnym przykładem topologii ilorazowej jest zdefiniowanie relacji równoważności na przestrzeni topologicznej Wówczas przekształcenie jest naturalnym rzutem na zbiór klas abstrakcji.

Topologia Vietorisa na zbiorze wszystkich niepustych podzbiorów przestrzeni topologicznej nosząca nazwisko Leopolda Vietorisa, jest generowana przez następującą bazę: dla każdej -tki zbiorów otwartych w konstruuje się bazę składającą się ze wszystkich podzbiorów sumy które mają niepuste przecięcie z każdym

Struktury algebraiczne[edytuj]

Dla dowolnego obiektu algebraicznego można wprowadzić topologię dyskretną, w której działania algebraiczne są funkcjami ciągłymi. W każdej takiej strukturze, która nie jest skończona, istnieje często topologia naturalna, zgodna z działaniami algebraicznymi w tym sensie, że dalej są one ciągłe. Prowadzi to do takich pojęć jak grupy topologiczne, przestrzenie liniowo-topologiczne, pierścienie topologiczne, czy ciała lokalne.

Podobne struktury[edytuj]

Następujące przestrzenie i algebry są przypadkami szczególnymi lub ogólnymi przedstawionych wyżej przestrzeni topologicznych:

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]

Uwagi

  1. a b c Oznaczenia , , , pochodzą od angielskich słów interior („wnętrze”), closure („domknięcie”) oraz border, frontier („granica”, tu: „brzeg”) bądź ich francuskich odpowiedników.

Przypisy

  1. Kołodziej Witold, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, str. 71 -72.
  2. Lynn Arthur Steen i J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, Nowy Jork, 1978. Przedruk: Dover Publications, Nowy Jork, 1995. ISBN 0-486-68735-X (wydanie Dover).

Bibliografia[edytuj]

  • Ryszard Engelking: Topologia ogólna, Warszawa: PWN, 1976.
  • Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 4, Warszawa: PWN, 1966.
  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna, Warszawa: PWN, 2009.
  • Handbook of set-theoretic topology. Red. Kenneth Kunen i Jerry E. Vaughan. Wyd. 1. Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1984.
  • Jun-iti Nagata: Modern General Topology. Wyd. 2 (poprawione). Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1985.