Przestrzeń topologiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń topologicznazbiór X wraz z wyróżnioną rodziną τ podzbiorów tego zbioru spełniających odpowiednie własności zwane aksjomatami topologii. Rodzina τ nazywana jest topologią na zbiorze X, a jej elementy nazywane są zbiorami otwartymi w X. Dopełnienia zbiorów otwartych nazywane są zbiorami domkniętymi. W niepustym zbiorze można wyróżnić wiele różnych topologii.

Przestrzeń topologiczną jest metryzowalna, gdy istnieje taka metryka metryka d na X, że każdy niepusty zbiór otwarty w X można przedstawić jako sumę pewnej rodziny kul otwartych względem metryki d. Nie wszystkie przestrzenie topologiczne są jednak metryzowalne – stąd pojęcie przestrzeni topologicznej jest ogólniejsze od pojęcia przestrzeni metrycznej. Intuicyjnie, pojęcie topologii umożliwia określenie, czy dany punkt przestrzeni X „styka się” z danym podzbiorem lub jest od niego "odizolowany", czy leży w jego "wnętrzu" lub na "obrzeżach".

Przestrzenie topologiczne pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki takich jak analiza matematyczna, teoria porządków (zob. topologia porządkowa) czy geometria algebraiczna (zob. topologia Zariskiego). Pojęcie topologii jest podstawowym pojęciem topologii ogólnej.

Motywacja[edytuj]

Niezmienniki przestrzeni topologicznych - to własności zachowujące się mimo przekształceń homeomorficznych, tj. bez rozrywania i sklejania: kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi.

Wiele własności obiektów rozważanych w analizie matematycznej można scharakteryzować za pomocą zbiorów otwartych. Przykładowo:

1) Ogólna definicja ciągłości funkcja wymaga odwołania się do zbiorów otwartych, np. funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz dowolnego otwartego zbioru jest otwarty.

2) W przestrzeni metrycznej kulę otwartą (O, R) definiuje się jako zbiór punktów odległych od danego punktu O o mniej niż zadana odległość R. Zbiory otwarte definiuje się wtedy jako sumy (również nieprzeliczalne) takich kul. Np. kulami otwartymi na prostej są przedziały otwarte, np. (2, 7), zaś zbiorami otwartymi – ich sumy. Podzbiory otwarte prostej rzeczywistej mają szereg ważnych własności, m.in.

  • cała prosta jest zbiorem otwartym,
  • część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
  • suma przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
  • w szczególności otwarty jest też zbiór pusty, gdyż jest sumą pustej rodziny zbiorów otwartych.

Powyższe własności zbiorów otwartych prostej łatwo uogólniono na dowolne przestrzenie metryczne.

Okazało się, że niekiedy użyteczniejsza jest sama struktura zbiorów otwartych, a nie metryka, którą zakładano w definicji zbiorów otwartych. Przestrzeń topologiczna stanowi właśnie uogólnienie przestrzeni metrycznej w tym duchu:

Przestrzeń topologiczna jest to przestrzeń z zadanymi z góry zbiorami otwartymi, a przyjęte własności rodziny zbiorów otwartych to niezbędne minimum do budowy nietrywialnej, a zarazem spójnej teorii.

Najbardziej interesujące są niezmienniki czyli własności przestrzeni topologicznych, które zachowują się mimo przekształcania przestrzeni. W szczególności bada się niezmienniki homeomorfizmów - przekształceń, które polegają na rozciąganiu, ściskanie, skręcaniu przestrzeni, z wyłączeniem rozrywania i sklejania. Niezmiennikami topologicznymi są np. zwartość, ośrodkowość i spójność (lecz nie zupełność, która jest niezmiennikiem metrycznym).

Aksjomaty przestrzeni topologicznej[edytuj]

Cztery przykłady i dwa kontrprzykłady topologii utworzonych na zbiorze o trzech elementach {1,2,3}. U dołu pokazano zbiory podzbiorów, które nie są topologiami: z lewej brakuje sumy podzbiorów {2} i {3} [tj. {2,3}], z prawej zaś brakuje części wspólnej podzbiorów {1,2} i {2,3} [tj. {2}].

Niech dany będzie zbiór i niech będzie rodziną podzbiorów zawartych w spełniającą następujące warunki[1]:

,
  • część wspólna dowolnych dwóch zbiorów należących do τ także należy do τ:
,
  • suma dowolnej rodziny zbiorów należących do τ także należy do τ
.

Rodzina nazywana jest topologią na zbiorze X lub rodziną zbiorów otwartych.

Elementy rodziny τ nazywane są zbiorami otwartymi, ich dopełnienia do zbioru X nazywane są zbiorami domkniętymi. Zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte, nazywane są zbiorami otwarto-domkniętymi, takim zbiorami są np. zbiór X oraz zbiór pusty.

Parę uporządkowaną (X, τ) składającą się ze zbioru X oraz topologii τ nań określonej nazywa się przestrzenią topologiczną.


Uwaga

Drugi warunek definiujący rodzinę można przez indukcję uogólnić na iloczyn dowolnej skończonej liczby zbiorów należących do .

Jednak uogólnienie drugiego warunku na nieskończone iloczyny zbiorów rodziny spowoduje zmianę teorii. Efektem będzie to, że rodzina będzie zbyt "duża". Jeśli przyjmiemy, że do należą np. dowolne przedziały „bez końców” (a,b), to tym samym zagwarantujemy, że do będą należeć także np. zbiory

.

Oczywiście z należenia do przedziałów „z końcami” [a,b] wynika należenie do np. przedziałów , bo to gwarantuje trzeci warunek z nieskończonym dodawaniem. Ostatecznie oznaczałoby to, że przy takiej zmodyfikowanej aksjomatyce przedziały byłyby nieodróżnialne. A taka aksjomatyka byłaby zupełnie nieprzydatna z punktu widzenia topologii.

Z drugiej strony ograniczenie obu warunków na skończone operacje uniemożliwiłoby np. poprawne zdefiniowanie wnętrza i domknięcia zbioru.

To razem pokazuje, że skuteczność aksjomatyki rodziny zbiorów otwartych wynika z pewnej „asymetrii” aksjomatów.

Wnętrze, domknięcie i brzeg zbioru[edytuj]

 Osobne artykuły: wnętrze, domknięciebrzeg.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna . Niech oznacza dopełnienie zbioru

Definicje[edytuj]

1) Wnętrze zbioru jest to największy (w sensie zawierania) zbiór otwarty zawarty w , tzn.

( int jest skrótem od ang. interior = wnętrze ).

2) Domknięcie zbioru jest to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór , tzn.

( cl jest skrótem od ang. closure = domknięcie ).

3) Brzeg zbioru jest to różnica domknięcia i wnętrza tego zbioru, tzn.

( bd, fr są skrótami od ang. border, frontier = brzeg ).

Twierdzenia[edytuj]

Twierdzenie 1: Operacje wnętrza, domknięcia i brzegu są idempotentne.

Twierdzenie 2: Operacje wnętrza i domknięcia są do siebie dualne w następującym sensie:

  - dopełnienie domknięcia jest wnętrzem dopełnienia,
  - dopełnienie wnętrza jest domknięciem dopełnienia.

Twierdzenie 3.

Zbiór A jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy int A = A.

Twierdzenie 4.

Zbiór A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy cl A = A.

Przykłady topologii[edytuj]

W dowolnym zbiorze można wprowadzić wiele różnych topologii, np:

  • topologia antydyskretna, w której jedynymi zbiorami otwartymi są zbiór pusty i cała przestrzeń .
  • topologia dyskretna, w której wszystkie podzbiory zbioru są otwarte czyli topologią jest zbiór potęgowy zbioru .
  • niech jest zbiorem nieskończonym, niech oznacza moc zbioru , niech (czyt. alef zero) oznacza najmniejszą z mocy zbiorów nieskończonych (równą mocy zbioru liczb naturalnych); podane niżej rodziny podzbiorów zbioru są topologiami:
    • - topologia, w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest skończone,
    • - topologia, w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest przeliczalne,
    • - topologia zbiorów skończonych, do których nie należy wyróżniony punkt .

Topologie często używane jako kontrprzykłady na stawiane przez matematyków hipotezy to np.

Opis nietypowych topologii można znaleźć w monografii Steena i Seebacha.[2]

Inne sposoby wprowadzania topologii[edytuj]

Oprócz podanej w sekcji Aksjomaty przestrzeni topologicznej metody definiowania topologii istnieją inne, równoważne metody jej wprowadzania. Oto kilka z nich.

Rodzina zbiorów domkniętych[edytuj]

Niech rodzina podzbiorów spełnia warunki:

  1. ,
  2. suma skończenie wielu zbiorów z należy do ,
  3. część wspólna dowolnej mnogości zbiorów z należy do .

Istnieje wówczas jedyna topologia zbiorów otwartych na taka, że jej zbiory są dopełnieniami zbiorów rodziny . W związku z tym nazywana jest rodziną zbiorów domkniętych.

Uwaga

Elementy należące do nazwane są tutaj zbiorami domkniętymi i są one dopełnieniami zbiorów zdefiniowanych aksjomatyką zbiorów otwartych. Aksjomatyka zbiorów domkniętych jest w gruncie rzeczy zastosowaniem praw De Morgana do aksjomatyki zbiorów otwartych, dlatego dopełnienie nieskończonej sumy zbiorów otwartych „zamienia się” w nieskończony iloczyn ich dopełnień, a dopełnienie skończonego iloczynu zbiorów otwartych „zamienia się” w skończone dodawanie ich dopełnień.

Operacja wnętrza[edytuj]

Niech będzie ustalona funkcja spełniająca dla dowolnych następujące warunki:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,

Twierdzenie Kuratowskiego:

  • rodzina jest topologią na ,
  • dla dowolnego .

Funkcję nazywa się operacją wnętrza dla topologii (lub operacją Kuratowskiego).

Operacja domknięcia[edytuj]

Niech będzie ustalona funkcja spełniająca dla dowolnych następujące warunki:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,

Twierdzenie Kuratowskiego:

  • rodzina jest topologią na ,
  • dla dowolnego .

Funkcję nazywa się operacją domknięcia dla topologii .

Bazy topologii[edytuj]

Niech rodzina podzbiorów zbioru spełnia warunki:

  1. jeśli oraz , to można znaleźć taki że ,
  2. dla każdego można znaleźć takie że ,

Istnieje wówczas (jedyna) topologia na taka, że rodzina jest bazą tej topologii.

Przykłady[edytuj]

  • Niech będzie zbiorem wszystkich ideałów pierwszych pierścienia . jest przestrzenią topologiczną, której bazą jest zbiór
, gdzie .
  • Niech . jest przestrzenią topologiczną, której bazą jest zbiór
, gdzie .

Baza otoczeń[edytuj]

Niech jest rodziną podzbiorów zbioru taką, że:

  1. dla każdego , i dla każdego mamy ,
  2. jeśli , , to istnieje takie, że ,
  3. dla każdych , , można znaleźć takie, że .

Niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów , które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny . Wówczas jest topologią na i jest systemem (bazą) otoczeń otwartych dla tej topologii.

Porównanie topologii danego zbioru[edytuj]

Definicja topologii silniejszej i słabszej[edytuj]

Jak już wspomniano, w danym zbiorze można określić wiele topologii. Jeżeli każdy zbiór otwarty w sensie topologii (tzn. element rodziny) należy również do to mówi się, że jest mocniejsza od a topologia jest słabsza od

Definicja kraty[edytuj]

Rodzina wszystkich topologii na danym zbiorze tworzy kratę zupełną z działaniami

dla

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Konstrukcje topologiczne[edytuj]

Każdy podzbiór przestrzeni topologicznej można wyposażyć w topologię podprzestrzeni, w której zbiory otwarte są przekrojami zbiorów otwartych przestrzeni z danym podzbiorem. Dla dowolnej rodziny indeksowanej przestrzeni topologicznych ich produkt może być wyposażony w topologię produktową, która jest generowana przez przeciwobrazy zbiorów otwartych czynników w przekształceniach rzutów. Przykładowo, w produktach skończonych, baza topologii produktowej składa się ze wszystkich produktów zbiorów otwartych. Dla produktów nieskończonych istnieje dodatkowy warunek, iż w zbiorze otwartym z bazy wszystkie poza skończenie wieloma z jego rzutów są całą przestrzenią.

Przestrzeń ilorazowa zdefiniowana jest następująco: jeśli jest przestrzenią topologiczną, zaś jest dowolnym zbiorem, a jest funkcją suriektywną, to topologią ilorazową na jest rodzina podzbiorów które mają otwarte przeciwobrazy w Innymi słowy topologia ilorazowa jest najbogatszą topologią na w której jest ciągłe. Popularnym przykładem topologii ilorazowej jest zdefiniowanie relacji równoważności na przestrzeni topologicznej Wówczas przekształcenie jest naturalnym rzutem na zbiór klas abstrakcji.

Topologia Vietorisa na zbiorze wszystkich niepustych podzbiorów przestrzeni topologicznej nosząca nazwisko Leopolda Vietorisa, jest generowana przez następującą bazę: dla każdej -tki zbiorów otwartych w konstruuje się bazę składającą się ze wszystkich podzbiorów sumy które mają niepuste przecięcie z każdym

Klasyfikacja[edytuj]

 Osobny artykuł: niezmiennik topologiczny.

Przestrzenie można sklasyfikować według istnienia między nimi homeomorfizmu - te, między którymi istnieje homeomorfizm, są topologicznie nieodróżnialne, te, między którymi nie istnieje żaden homeomorfizm, są topologicznie odmienne. Aby udowodnić, że dwie przestrzenie nie są homeomorficzne wystarczy wskazać jakiś niezmiennik, który posiada tylko jedna z nich. Przykładami takich niezmienników są m.in. spójność, zwartość, ośrodkowość (lecz nie zupełność, która jest niezmiennikiem metrycznym), czy różne aksjomaty oddzielania.

Struktury algebraiczne[edytuj]

Dla dowolnego obiektu algebraicznego można wprowadzić topologię dyskretną, w której działania algebraiczne są funkcjami ciągłymi. W każdej takiej strukturze, która nie jest skończona, istnieje często topologia naturalna, zgodna z działaniami algebraicznymi w tym sensie, że dalej są one ciągłe. Prowadzi to do takich pojęć jak grupy topologiczne, przestrzenie liniowo-topologiczne, pierścienie topologiczne, czy ciała lokalne.

Przypadki szczególne i uogólnienia[edytuj]

Następujące przestrzenie i algebry są przypadkami szczególnymi lub ogólnymi przedstawionych wyżej przestrzeni topologicznych:

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Kołodziej Witold, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, str. 71 -72.
  2. Lynn Arthur Steen i J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, Nowy Jork, 1978. Przedruk: Dover Publications, Nowy Jork, 1995. ISBN 0-486-68735-X (wydanie Dover).

Bibliografia[edytuj]

  • Engelking Ryszard: Topologia ogólna, Warszawa: PWN, 1976.
  • Kuratowski Kazimierz: Wstęp do teorii mnogosci i topologii. Wyd. 4, Warszawa: PWN, 1966.
  • Kołodziej Witold: Analiza matematyczna, Warszawa: PWN, 2009.
  • Handbook of set-theoretic topology. Red. Kenneth Kunen i Jerry E. Vaughan. Wyd. 1. Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1984.
  • Nagata Jun-iti: Modern General Topology. Wyd. 2 (poprawione). Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1985.

Linki zewnętrzne[edytuj]