Przestrzeń topologiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń topologicznazbiór X wraz z wyróżnioną rodziną τ podzbiorów tego zbioru spełniających tzw. aksjomaty topologii. Przestrzeń topologiczna jest więc parą (X, τ). Rodzina τ nazywa się topologią na zbiorze X.

Pojęcie topologii jest podstawowym pojęciem topologii ogólnej.

W danym zbiorze niepustym można wprowadzić topologię na wiele różnych sposobów. Elementy rodziny τ nazywa się zbiorami otwartymi w X, a ich dopełnienie zbiorami domkniętymi. Intuicyjnie, topologia przestrzeni topologicznej umożliwia określenie, czy dany punkt przestrzeni X „styka się” z danym podzbiorem lub jest od niego "odizolowany", czy leży w jego "wnętrzu" lub na "obrzeżach".

Przestrzeń topologiczną nazywa się przestrzenią metryzowalną, gdy jej topologię można uzyskać za pomocą jakiejś metryki. Nie wszystkie przestrzenie topologiczne są metryzowalne – stąd pojęcie przestrzeni topologicznej jest ogólniejsze od pojęcia przestrzeni metrycznej.

Każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią topologiczną; dlatego wszystkie pojęcia topologiczne można w niej definiować za pomocą metryki. Np. zbiór jest domknięty, gdy należą do niego punkty będące granicami ciągów danego zbioru, zbiór jest otwarty, gdy jest sumą kul otwartych.

Przestrzenie topologiczne pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki takich jak analiza matematyczna, teoria porządków (zob. topologia porządkowa) czy geometria algebraiczna (zob. topologia Zariskiego).

Motywacja[edytuj]

Niezmienniki przestrzeni topologicznych - to własności zachowujące się mimo przekształceń homeomorficznych, tj. bez rozrywania i sklejania: kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi.

Wiele własności obiektów studiowanych w analizie matematycznej można scharakteryzować (niekiedy wyłącznie) za pomocą zbiorów otwartych. Przykładowo:

1) ścisła definicja ciągłości funkcja wymaga odwołania się do zbiorów otwartych, np. funkcja f\colon \mathbb R \to \mathbb R jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz f^{-1}(U) dowolnego otwartego zbioru U\,\subseteq\mathbb R jest otwarty.

2) W przestrzeni metrycznej kulę otwartą (O, R) definiuje się jako zbiór punktów odległych od danego punktu O o mniej niż zadana odległość R. Zbiory otwarte definiuje się wtedy jako sumy (również nieprzeliczalne) takich kul. Np. kulami otwartymi na prostej są przedziały otwarte, np. (2, 7), zaś zbiorami otwartymi – ich sumy. Podzbiory otwarte prostej rzeczywistej mają szereg ważnych własności, m.in.

  • cała prosta jest zbiorem otwartym,
  • część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
  • suma przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
  • w szczególności otwarty jest też zbiór pusty, gdyż jest sumą pustej rodziny zbiorów otwartych.

Powyższe własności zbiorów otwartych prostej \mathbb R łatwo uogólniono na dowolne przestrzenie metryczne.

Okazało się, że niekiedy użyteczniejsza jest sama struktura zbiorów otwartych, a nie metryka, którą zakładano w definicji zbiorów otwartych. Przestrzeń topologiczna stanowi właśnie uogólnienie przestrzeni metrycznej w tym duchu:

Przestrzeń topologiczna jest to przestrzeń z zadanymi z góry zbiorami otwartymi, a przyjęte własności rodziny zbiorów otwartych to niezbędne minimum do budowy nietrywialnej, a zarazem spójnej teorii.

Najbardziej interesujące są niezmienniki czyli własności przestrzeni topologicznych, które zachowują się mimo przekształcania przestrzeni. W szczególności bada się niezmienniki homeomorfizmów - przekształceń, które polegają na rozciąganiu, ściskanie, skręcaniu przestrzeni, z wyłączeniem rozrywania i sklejania. Niezmiennikami topologicznymi są np. zwartość, ośrodkowość i spójność (lecz nie zupełność, która jest niezmiennikiem metrycznym).

Definicja topologii przez zbiory otwarte[edytuj]

Cztery przykłady i dwa kontrprzykłady topologii utworzonych na zbiorze o trzech elementach {1,2,3}. U dołu pokazano zbiory podzbiorów, które nie są topologiami: z lewej brakuje sumy podzbiorów {2} i {3} [tj. {2,3}], z prawej zaś brakuje części wspólnej podzbiorów {1,2} i {2,3} [tj. {2}].

Niech dany będzie zbiór X. Rodzina τ złożona z podzbiorów zbioru X nazywana jest topologią na tym zbiorze, jeśli podzbiory te spełniają następujące warunki[1]:

X \in \tau,\varnothing \in \tau
  • część wspólna dowolnych dwóch zbiorów należących do τ również należy do τ:
U,V\in \tau \Rightarrow
U \cap V \in \tau
  • suma dowolnej podrodziny σ rodziny τ należy do τ:
\sigma\subseteq \tau \Rightarrow \bigcup \sigma \in \tau.

Zbiór X z określoną nań topologią τ (formalnie, parę uporządkowaną (X, τ)) nazywany jest przestrzenią topologiczną. Elementy rodziny τ nazywane są zbiorami otwartymi, a ich dopełnienia do zbioru X nazywane są zbiorami domkniętymi. Zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte nazywane są zbiorami otwarto-domkniętymi. Przykładowo, X i zbiór pusty są otwarto-domknięte w każdej przestrzeni topologicznej.

Definicje wnętrza, domknięcia i brzegu[edytuj]

 Osobne artykuły: wnętrze, domknięciebrzeg.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna (X, \tau). Niech A^\operatorname c oznacza dopełnienie zbioru A.

Wnętrze (ang. interior) zbioru A jest to największy (w sensie zawierania) zbiór otwarty zawarty w A,

\operatorname{int}\; A := \bigcup \{U \in \tau\colon U \subseteq A\}.

Domknięcie (ang. closure) zbioru A jest to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór A,

\operatorname{cl}\; A := \bigcap \{F\colon F \supseteq A \and F^\operatorname c \in \tau\}

Operacje wnętrza i domknięcia są do siebie dualne w następującym sensie:

(\operatorname{cl} A )^\operatorname c = \operatorname{int}(A^\operatorname c)      (dopełnienie domknięcia jest wnętrzem dopełnienia)

oraz

(\operatorname{int} A )^\operatorname c = \operatorname{cl}(A^\operatorname c)      (dopełnienie wnętrza jest domknięciem dopełnienia)

Ponadto wnętrzem zbioru otwartego, jak i domknięciem zbioru domkniętego są te właśnie zbiory. Prowadzi to do następujących charakteryzacji zbiorów otwartych i domkniętych:

zbiór jest otwarty (odp. domknięty), jeśli jest równy swemu wnętrzu (odp. domknięciu).

Brzeg (ang. border, frontier) zbioru A jest to różnica domknięcia i wnętrza tego zbioru,

\operatorname{bd}\; A \equiv \operatorname{fr}\; A := \operatorname{cl}\; A \setminus \operatorname{int}\; A

Wszystkie powyższe operacje – wnętrza, domknięcia i brzegu – są idempotentne.

Przykłady topologii[edytuj]

W dowolnym zbiorze X można wprowadzić wiele różnych topologii, które nie zależą od samej natury obiektów składających się na ten zbiór. Do podstawowych przykładów należą

  • topologia antydyskretna, w której jedynymi zbiorami otwartymi są zbiór pusty i cała przestrzeń X,
  • topologia dyskretna, w której wszystkie podzbiory zbioru X są otwarte czyli topologią jest zbiór potęgowy zbioru X,
  • jeżeli X jest zbiorem nieskończonym, to wyszczególnione niżej rodziny podzbiorów zbioru X są topologiami:
    • \tau_1=\{U\subseteq X\colon\, |X\setminus U|<\aleph_0\} (zbiorami otwartymi w tej topologii są te zbiory, których dopełnienie jest skończone)
    • \tau_2=\{U\subseteq X\colon\, |X\setminus U|\leq\aleph_0\} (zbiorami otwartymi w tej topologii są te zbiory, których dopełnienie jest przeliczalne)
    • \tau_3=\{U\subseteq X\colon\, |X\setminus U|<\aleph_0 \vee p\notin U\} przy ustalonym punkcie p\in X (tzw. topologia zbiorów koskończonych z wyróżnionym punktem).

Przykładami przestrzeni topologicznych, które stosunkowo często bywają kontrprzykładami na stawiane przez matematyków pytania są np. miotełka Kuratowskiego, płaszczyzna Niemyckiego, prosta Sorgenfreya, przestrzeń Apperta czy rogata sfera Alexandera. Opis nietypowych przestrzeni topologicznych można znaleźć w monografii Steena i Seebacha.[2]

Inne sposoby wprowadzania topologii[edytuj]

W rozdziale Definicja topologii podaliśmy definicję topologii za pomocą tzw. zbiorów otwartych, czyli podzbiorów zbioru X - dowolnie wybranych - ale jednocześnie spełniających trzy aksjomaty. Aksjomaty te dotyczyły operacji dodawania zbiorów otwartych i znajdowania ich części wspólnej.

W praktyce jednak często najpierw opisuje się inne rodziny zbiorów lub inne operacje na zbiorach, a następnie definiuje się topologię na danej przestrzeni. Poniżej podamy kilka takich alternatywnych metod.

Za pomocą zbiorów domkniętych[edytuj]

Przypuśćmy że rodzina \mathcal F podzbiorów X spełnia następujące warunki:

  1. \varnothing,X \in \mathcal F,
  2. suma skończenie wielu zbiorów z \mathcal F należy do \mathcal F,
  3. część wspólna dowolnej rodziny zbiorów z \mathcal F należy do \mathcal F.

Wówczas istnieje (jedyna) topologia \mathcal{T} na X taka, że \mathcal F jest rodziną zbiorów domkniętych w tej topologii.

Za pomocą operacji wnętrza[edytuj]

Jeśli funkcja, którą nazwiemy operacją wnętrza (operacją Kuratowskiego), \Phi\colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(X) spełniająca, dla dowolnych A,B\subseteq X, następujące warunki:

(IO1) \Phi(X)=X,
(IO2) \Phi(A) \subseteq A,
(IO3) \Phi(A \cap B)=\Phi(A) \cap \Phi(B),
(IO4) \Phi\big(\Phi(A)\big)=\Phi(A),

to rodzina \mathcal{T}=\{U\subseteq X\colon \Phi(U)=U\} jest topologią na X oraz \operatorname{Int}(A)=\Phi(A) dla dowolnego A \subseteq X, innymi słowy \Phi jest operacją wnętrza dla tej topologii.

Powyższe twierdzenie nazywa się twierdzeniem Kuratowskiego.

Za pomocą operacji domknięcia (podejście Kuratowskiego)[edytuj]

Jeśli funkcja \Psi\colon{\mathcal P}(X) \to {\mathcal P}(X) spełnia, dla dowolnych A,B\subseteq X, następujące warunki:

(CO1) \Psi(\varnothing)=\varnothing,
(CO2) A\subseteq \Psi(A),
(CO3) \Psi(A\cup B)=\Psi(A)\cup \Psi(B),
(CO4) \Psi\big(\Psi(A)\big)=\Psi(A).

to rodzina \mathcal{T}=\{X\setminus U\subseteq X\colon \Psi(U)=U\} jest topologią na X oraz \operatorname{cl}(A)=\Psi(A) dla dowolnego A \subseteq X, innymi słowy \Psi jest operacją domknięcia dla tej topologii.

Za pomocą wyboru bazy[edytuj]

Przypuśćmy że rodzina {\mathcal B} podzbiorów X spełnia następujące dwa warunki:

(B1) jeśli U,V\in {\mathcal B} oraz x\in U\cap V, to można znaleźć W\in {\mathcal B} taki że x\in W\subseteq U\cap V,
(B2) dla każdego x\in X można znaleźć U\in {\mathcal B} takie że x\in U.

Wówczas istnieje (jedyna) topologia \mathcal{T} na X taka, że rodzina {\mathcal B} jest bazą tej topologii.

Przykłady[edytuj]

\{V_k\colon k\in\mathbb{N}\}, gdzie V_k=\{I\in X\colon\; k\notin I\}.
  • Niech X=\mathbb{N}\setminus\{1\}. X jest przestrzenią topologiczną, której bazą jest zbiór
\{V_k\colon k\in\mathbb{N}\setminus\{1\}\}, gdzie V_k=\{n\in X\colon\; n|k\}.

Za pomocą otoczeń[edytuj]

Załóżmy, że \{\mathcal B(x)\colon x \in X\} jest systemem podzbiorów X takim, że następujące warunki są spełnione:

(BP1) Dla każdego x\in X, \mathcal B(x) \ne \varnothing i dla każdego U \in \mathcal B(x) mamy x \in U.
(BP2) Jeśli x \in U \in \mathcal B(y), x, y \in X, to istnieje V \in \mathcal B(x) takie, że V \subseteq U.
(BP3) Dla każdych U_1, U_2 \in \mathcal B(x), x \in X, można znaleźć U \in \mathcal B(x) takie, że U \subseteq U_1 \cap U_2.

Niech \mathcal{T} będzie rodziną wszystkich podzbiorów X, które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny \bigcup\{\mathcal B(x)\colon\, x\in X\}. Wówczas \mathcal{T} jest topologią na X i \{\mathcal B(x)\colon x\in X\} jest systemem (bazą) otoczeń otwartych dla tej topologii.

Porównanie topologii danego zbioru[edytuj]

Definicja topologii silniejszej i słabszej[edytuj]

Jak już wspomniano, w danym zbiorze można określić wiele topologii. Jeżeli każdy zbiór otwarty w sensie topologii (tzn. element rodziny) \tau_1 należy również do \tau_2, to mówi się, że \tau_2 jest mocniejsza od \tau_1, a topologia \tau_1 jest słabsza od \tau_2.

Definicja kraty[edytuj]

Rodzina \mathcal T wszystkich topologii na danym zbiorze X tworzy kratę zupełną z działaniami

  • \tau_1 \wedge \tau_2 = \tau_1 \cap \tau_2,
  • \tau_1 \vee \tau_2 = \bigcap\{\tau \in \mathcal T\colon \tau_1 \cup \tau_2 \subseteq \tau\}

dla \tau_1, \tau_2 \in \mathcal T.

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Konstrukcje topologiczne[edytuj]

Każdy podzbiór przestrzeni topologicznej można wyposażyć w topologię podprzestrzeni, w której zbiory otwarte są przekrojami zbiorów otwartych przestrzeni z danym podzbiorem. Dla dowolnej rodziny indeksowanej przestrzeni topologicznych ich produkt może być wyposażony w topologię produktową, która jest generowana przez przeciwobrazy zbiorów otwartych czynników w przekształceniach rzutów. Przykładowo, w produktach skończonych, baza topologii produktowej składa się ze wszystkich produktów zbiorów otwartych. Dla produktów nieskończonych istnieje dodatkowy warunek, iż w zbiorze otwartym z bazy wszystkie poza skończenie wieloma z jego rzutów są całą przestrzenią.

Przestrzeń ilorazowa zdefiniowana jest następująco: jeśli X jest przestrzenią topologiczną, zaś Y jest dowolnym zbiorem, a f\colon X \to Y jest funkcją suriektywną, to topologią ilorazową na Y jest rodzina podzbiorów Y, które mają otwarte przeciwobrazy w f. Innymi słowy topologia ilorazowa jest najbogatszą topologią na Y, w której f jest ciągłe. Popularnym przykładem topologii ilorazowej jest zdefiniowanie relacji równoważności na przestrzeni topologicznej X. Wówczas przekształcenie f jest naturalnym rzutem na zbiór klas abstrakcji.

Topologia Vietorisa na zbiorze wszystkich niepustych podzbiorów przestrzeni topologicznej X, nosząca nazwisko Leopolda Vietorisa, jest generowana przez następującą bazę: dla każdej n-tki U_1, \dots, U_n zbiorów otwartych w X konstruuje się bazę składającą się ze wszystkich podzbiorów sumy U_i, które mają niepuste przecięcie z każdym U_i.

Klasyfikacja[edytuj]

 Osobny artykuł: niezmiennik topologiczny.

Przestrzenie można sklasyfikować, co do homeomorfizmu, zgodnie z ich niezmiennikami topologicznymi. Aby udowodnić, że dwie przestrzenie nie są homeomorficzne wystarczy wskazać niezmiennik, który posiada tylko jedna z nich. Przykładami takich niezmienników są m.in. spójność, zwartość, ośrodkowość (lecz nie zupełność, która jest niezmiennikiem metrycznym), czy różne aksjomaty oddzielania.

Struktury algebraiczne[edytuj]

Dla dowolnego obiektu algebraicznego można wprowadzić topologię dyskretną, w której działania algebraiczne są funkcjami ciągłymi. W każdej takiej strukturze, która nie jest skończona, istnieje często topologia naturalna, zgodna z działaniami algebraicznymi w tym sensie, że dalej są one ciągłe. Prowadzi to do takich pojęć jak grupy topologiczne, przestrzenie liniowo-topologiczne, pierścienie topologiczne, czy ciała lokalne.

Przypadki szczególne i uogólnienia[edytuj]

Następujące przestrzenie i algebry są przypadkami szczególnymi lub ogólnymi od przedstawionych wyżej przestrzeni topologicznych:

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Kołodziej Witold, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, str. 71 -72.
  2. Lynn Arthur Steen i J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, Nowy Jork, 1978. Przedruk: Dover Publications, Nowy Jork, 1995. ISBN 0-486-68735-X (wydanie Dover).

Bibliografia[edytuj]

  • Engelking Ryszard: Topologia ogólna Warszawa: PWN 1976.
  • Kuratowski Kazimierz: Wstęp do teorii mnogosci i topologii. Wyd. 4. Warszawa: PWN, 1966.
  • Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009.
  • Handbook of set-theoretic topology. Red. Kenneth Kunen i Jerry E. Vaughan. Wyd. 1. Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1984.
  • Nagata Jun-iti: Modern General Topology. Wyd. 2 (poprawione). Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1985.

Linki zewnętrzne[edytuj]