Przestrzeń topologiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń topologiczna – to taki zbiór X, w którym określono – w sposób dowolny – zbiór jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), spełniających jedynie zadane warunki (aksjomaty topologii). Tak określony zbiór podzbiorów nazywamy topologią \tau. W danym zbiorze można określić wiele różnych topologii \tau_1, \tau_2,... Pojęcie przestrzeni topologicznej jest podstawowym pojęciem topologii ogólnej, umożliwiającym określenie czy dany podzbiór zbioru X (czyli tzw. punkt topologii) leży „blisko”, czy „daleko” od innego podzbioru (tzn. w jego domknięciu lub poza nim) bez potrzeby wprowadzania definicji odległości (metryki) w zbiorze.

Każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią topologiczną: „bliskość” definiowana jest za pomocą metryki, do zbiorów domkniętych należą punkty będące granicami ciągów danego zbioru, co prowadzi do uznania za otwarte zbiorów składających się z wszystkich kul otwartych i ich sum (także przeliczalnych).

Przestrzeń topologiczną w której topologię można uzyskać za pomocą pewnej metryki nazywa się metryzowalną. Nie wszystkie przestrzenie topologiczne są metryzowalne – stąd pojęcie przestrzeni topologicznej jest dużo ogólniejsze od pojęcia przestrzeni metrycznej.

Przestrzenie topologiczne pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki takich jak analiza matematyczna, teoria porządków (zob. topologia porządkowa) czy geometria algebraiczna (zob. topologia Zariskiego).

Wprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Wiele własności obiektów studiowanych w analizie matematycznej można scharakteryzować wyłącznie za pomocą zbiorów otwartych. Przykładowo, funkcja f\colon \mathbb R \to \mathbb R jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz f^{-1}(U) dowolnego otwartego podzbioru \mathbb R jest otwarty.

W przestrzeni metrycznej kulę otwartą określa się jako zbiór punktów odległych od określonego punktu (tzw. środka) o mniej niż zadana odległość (tzw. promień). Zbiory otwarte definiuje się wtedy jako sumy (również przeliczalne) takich kul.

Prosta \mathbb R wyposażona jest w naturalnie określoną odległość nazywaną metryką euklidesową daną wzorem

d(x, y) = |x - y|

dla dowolnych x, y \in \mathbb R, gdzie |\cdot| oznacza wartość bezwzględną. Kulami otwartymi na prostej są przedziały otwarte, a zbiorami otwartymi – ich sumy. Rodzina podzbiorów otwartych prostej rzeczywistej ma szereg własności będących podstawą wielu dowodów, wśród nich pojawiają się m.in.

  • cała prosta jest zbiorem otwartym;
  • część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym;
  • suma przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

W szczególności otwarty jest też zbiór pusty, gdyż jest sumą pustej rodziny zbiorów otwartych.

Powyższe obserwacje dotyczące prostej \mathbb R przenoszą się wprost na dowolne przestrzenie metryczne. Łatwo zaobserwować, że podstawowe własności zbiorów otwartych i ich wykorzystanie w wielu rozumowaniach nie ulega zmianie. Często okazuje się jednak, że użyteczniejsza jest sama struktura zbiorów otwartych, a nie metryka, która do nich prowadzi. Przestrzeń topologiczna stanowi właśnie uogólnienie przestrzeni metrycznej w tym duchu: jest to przestrzeń z zadanymi z góry zbiorami otwartymi, a przyjęte własności rodziny zbiorów otwartych to niezbędne minimum do budowy nietrywialnej, a zarazem spójnej teorii.

Najbardziej interesujące są dla matematyków te własności przestrzeni topologicznych, które zachowują się podczas przekształcania ich w sposób wzajemnie jednoznaczny, ciągły oraz otwarty – czyli poprzez homeomorfizm. Takimi własnościami, nazywanymi niezmiennikami, są na przykład zwartość, ośrodkowość i spójność, lecz nie zupełność (która jest niezmiennikiem metrycznym).

Definicja topologii przez zbiory otwarte[2][edytuj | edytuj kod]

Cztery przykłady i dwa kontrprzykłady topologii utworzonych na zbiorze o trzech elementach {1,2,3}. U dołu pokazano zbiory podzbiorów, które nie są topologiami: z lewej brakuje sumy podzbiorów {2} i {3} [tj. {2,3}], z prawej zaś brakuje części wspólnej podzbiorów {1,2} i {2,3} [tj. {2}].

Niech dany będzie zbiór X. Dowolnie wybrany zbiór \tau podzbiorów zbioruX nazywa się topologią na tym zbiorze, jeśli podzbiory te spełniają następujące warunki:

  • zbiór pusty i zbiór X należą do \tau

X \in \tau,\varnothing \in \tau

  • iloczyn dowolnych dwóch zbiorów zbioru \tau też należy do \tau

(U\in \tau)\and (V \in \tau)\Rightarrow
(U \cap V \in \tau)

  • suma dowolnej mnogości zbiorów zbioru \tau też należy do \tau

(\bigwedge_{s\in S} U_s\in \tau)\Rightarrow (\bigcup_{s\in S} U_s \in \tau)

gdzie S jest zbiorem indeksów przeliczalnym lub nieprzeliczalnym.

Zbiór X z określoną na nim topologią \tau nazywa się przestrzenią topologiczną. Elementy rodziny \tau nazywa się zbiorami otwartymi, a ich dopełnienia do zbioru X nazywamy zbiorami domkniętymi.

Zauważmy, że dla danego zbioru X można wybrać wiele różnych topologii. Zależnie od tego wyboru będą istnieć podzbiory zbioru X, które nie zostały wybrane do topologii - takie podzbiory nie będą więc ani otwarte, ani domknięte. Będą też takie podzbiory zbioru X, które zostały wybrane do topologii, a jednocześnie stanowią dopełnienia innych zbiorów z topologii; te zbiory będą więc zarazem otwarte jak i domknięte – nazywa się je zbiorami otwarto-domkniętymi.

Definicje wnętrza, domknięcia i brzegu[edytuj | edytuj kod]

 Osobne artykuły: wnętrze, domknięciebrzeg.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna (X, \tau). Niżej A^\operatorname c oznacza dopełnienie zbioru A.

Wnętrzem (ang. interior) zbioru A nazywa się zbiór największy (w sensie zawierania) zbiór otwarty zawarty w A,

\operatorname{int}\; A := \bigcup \{U \in \tau\colon U \subseteq A\}.

Domknięcie (ang. closure) zbioru A to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór A,

\operatorname{cl}\; A := \bigcap \{F\colon F \supseteq A \and F^\operatorname c \in \tau\}

Operacje wnętrza i domknięcia są do siebie dualne w tym sensie, iż

\operatorname{cl}\; A = \operatorname{int}(A^\operatorname c)^\operatorname c

oraz

\operatorname{int}\; A = \operatorname{cl}(A^\operatorname c)^\operatorname c.

Ponadto wnętrzem zbioru otwartego, jak i domknięciem zbioru domkniętego są te właśnie zbiory. Prowadzi to do następujących charakteryzacji zbiorów otwartych i domkniętych:

zbiór jest otwarty (odp. domknięty), jeśli jest równy swemu wnętrzu (odp. domknięciu).

Brzegiem (ang. border, frontier) zbioru A nazywa się różnicę domknięcia i wnętrza tego zbioru,

\operatorname{bd}\; A \equiv \operatorname{fr}\; A := \operatorname{cl}\; A \setminus \operatorname{int}\; A

Wszystkie powyższe operacje – wnętrza, domknięcia i brzegu – są idempotentne.

Przykłady topologii[edytuj | edytuj kod]

W dowolnym zbiorze X można wprowadzić wiele różnych topologii, które nie zależą od samej natury obiektów składających się na ten zbiór. Do podstawowych przykładów należą

  • topologia antydyskretna, w której jedynymi zbiorami otwartymi są zbiór pusty i cała przestrzeń X,
  • topologia dyskretna, w której wszystkie podzbiory zbioru X są otwarte czyli topologią jest zbiór potęgowy zbioru X,
  • jeżeli X jest zbiorem nieskończonym, to wyszczególnione niżej rodziny podzbiorów zbioru X są topologiami:
    • \tau_1=\{U\subseteq X\colon\, |X\setminus U|<\aleph_0\} (zbiorami otwartymi w tej topologii są te zbiory, których dopełnienie jest skończone)
    • \tau_2=\{U\subseteq X\colon\, |X\setminus U|\leq\aleph_0\} (zbiorami otwartymi w tej topologii są te zbiory, których dopełnienie jest przeliczalne)
    • \tau_3=\{U\subseteq X\colon\, |X\setminus U|<\aleph_0 \vee p\notin U\} przy ustalonym punkcie p\in X (tzw. topologia zbiorów koskończonych z wyróżnionym punktem).

Przykładami przestrzeni topologicznych, które stosunkowo często bywają kontrprzykładami na stawiane przez matematyków pytania są np. miotełka Kuratowskiego, płaszczyzna Niemyckiego, prosta Sorgenfreya, przestrzeń Apperta czy rogata sfera Alexandera. Opis nietypowych przestrzeni topologicznych można znaleźć w monografii Steena i Seebacha.[3]

Inne sposoby wprowadzania topologii[edytuj | edytuj kod]

W rozdziale Definicja topologii podaliśmy definicję topologii za pomocą tzw. zbiorów otwartych, czyli podzbiorów zbioru X - dowolnie wybranych - ale jednocześnie spełniających trzy aksjomaty. Aksjomaty te dotyczyły operacji dodawania zbiorów otwartych i znajdowania ich części wspólnej.

W praktyce jednak często najpierw opisuje się inne rodziny zbiorów lub inne operacje na zbiorach, a następnie definiuje się topologię na danej przestrzeni. Poniżej podamy kilka takich alternatywnych metod.

Za pomocą zbiorów domkniętych[edytuj | edytuj kod]

Przypuśćmy że rodzina \mathcal F podzbiorów X spełnia następujące warunki:

  1. \varnothing,X \in \mathcal F,
  2. suma skończenie wielu zbiorów z \mathcal F należy do \mathcal F,
  3. część wspólna dowolnej rodziny zbiorów z \mathcal F należy do \mathcal F.

Wówczas istnieje (jedyna) topologia \mathcal{T} na X taka, że \mathcal F jest rodziną zbiorów domkniętych w tej topologii.

Za pomocą operacji wnętrza[edytuj | edytuj kod]

Jeśli funkcja, którą nazwiemy operacją wnętrza (operacją Kuratowskiego), \Phi\colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(X) spełniająca, dla dowolnych A,B\subseteq X, następujące warunki:

(IO1) \Phi(X)=X,
(IO2) \Phi(A) \subseteq A,
(IO3) \Phi(A \cap B)=\Phi(A) \cap \Phi(B),
(IO4) \Phi\big(\Phi(A)\big)=\Phi(A),

to rodzina \mathcal{T}=\{U\subseteq X\colon \Phi(U)=U\} jest topologią na X oraz \operatorname{Int}(A)=\Phi(A) dla dowolnego A \subseteq X, innymi słowy \Phi jest operacją wnętrza dla tej topologii.

Powyższe twierdzenie nazywa się twierdzeniem Kuratowskiego.

Za pomocą operacji domknięcia (podejście Kuratowskiego)[edytuj | edytuj kod]

Jeśli funkcja \Psi\colon{\mathcal P}(X) \to {\mathcal P}(X) spełnia, dla dowolnych A,B\subseteq X, następujące warunki:

(CO1) \Psi(\varnothing)=\varnothing,
(CO2) A\subseteq \Psi(A),
(CO3) \Psi(A\cup B)=\Psi(A)\cup \Psi(B),
(CO4) \Psi\big(\Psi(A)\big)=\Psi(A).

to rodzina \mathcal{T}=\{X\setminus U\subseteq X\colon \Psi(U)=U\} jest topologią na X oraz \operatorname{cl}(A)=\Psi(A) dla dowolnego A \subseteq X, innymi słowy \Psi jest operacją domknięcia dla tej topologii.

Za pomocą wyboru bazy[edytuj | edytuj kod]

Przypuśćmy że rodzina {\mathcal B} podzbiorów X spełnia następujące dwa warunki:

(B1) jeśli U,V\in {\mathcal B} oraz x\in U\cap V, to można znaleźć W\in {\mathcal B} taki że x\in W\subseteq U\cap V,
(B2) dla każdego x\in X można znaleźć U\in {\mathcal B} takie że x\in U.

Wówczas istnieje (jedyna) topologia \mathcal{T} na X taka, że rodzina {\mathcal B} jest bazą tej topologii.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

\{V_k\colon k\in\mathbb{N}\}, gdzie V_k=\{I\in X\colon\; k\notin I\}.
  • Niech X=\mathbb{N}\setminus\{1\}. X jest przestrzenią topologiczną, której bazą jest zbiór
\{V_k\colon k\in\mathbb{N}\setminus\{1\}\}, gdzie V_k=\{n\in X\colon\; n|k\}.

Za pomocą otoczeń[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że \{\mathcal B(x)\colon x \in X\} jest systemem podzbiorów X takim, że następujące warunki są spełnione:

(BP1) Dla każdego x\in X, \mathcal B(x) \ne \varnothing i dla każdego U \in \mathcal B(x) mamy x \in U.
(BP2) Jeśli x \in U \in \mathcal B(y), x, y \in X, to istnieje V \in \mathcal B(x) takie, że V \subseteq U.
(BP3) Dla każdych U_1, U_2 \in \mathcal B(x), x \in X, można znaleźć U \in \mathcal B(x) takie, że U \subseteq U_1 \cap U_2.

Niech \mathcal{T} będzie rodziną wszystkich podzbiorów X, które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny \bigcup\{\mathcal B(x)\colon\, x\in X\}. Wówczas \mathcal{T} jest topologią na X i \{\mathcal B(x)\colon x\in X\} jest systemem (bazą) otoczeń otwartych dla tej topologii.

Porównanie topologii danego zbioru[edytuj | edytuj kod]

Definicja topologii silniejszej i słabszej[edytuj | edytuj kod]

Jak już wspomniano, w danym zbiorze można określić wiele topologii. Jeżeli każdy zbiór otwarty w sensie topologii (tzn. element rodziny) \tau_1 należy również do \tau_2, to mówi się, że \tau_2 jest mocniejsza od \tau_1, a topologia \tau_1 jest słabsza od \tau_2.

Definicja kraty[edytuj | edytuj kod]

Rodzina \mathcal T wszystkich topologii na danym zbiorze X tworzy kratę zupełną z działaniami

  • \tau_1 \wedge \tau_2 = \tau_1 \cap \tau_2,
  • \tau_1 \vee \tau_2 = \bigcap\{\tau \in \mathcal T\colon \tau_1 \cup \tau_2 \subseteq \tau\}

dla \tau_1, \tau_2 \in \mathcal T.

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Konstrukcje topologiczne[edytuj | edytuj kod]

Każdy podzbiór przestrzeni topologicznej można wyposażyć w topologię podprzestrzeni, w której zbiory otwarte są przekrojami zbiorów otwartych przestrzeni z danym podzbiorem. Dla dowolnej rodziny indeksowanej przestrzeni topologicznych ich produkt może być wyposażony w topologię produktową, która jest generowana przez przeciwobrazy zbiorów otwartych czynników w przekształceniach rzutów. Przykładowo, w produktach skończonych, baza topologii produktowej składa się ze wszystkich produktów zbiorów otwartych. Dla produktów nieskończonych istnieje dodatkowy warunek, iż w zbiorze otwartym z bazy wszystkie poza skończenie wieloma z jego rzutów są całą przestrzenią.

Przestrzeń ilorazowa zdefiniowana jest następująco: jeśli X jest przestrzenią topologiczną, zaś Y jest dowolnym zbiorem, a f\colon X \to Y jest funkcją suriektywną, to topologią ilorazową na Y jest rodzina podzbiorów Y, które mają otwarte przeciwobrazy w f. Innymi słowy topologia ilorazowa jest najbogatszą topologią na Y, w której f jest ciągłe. Popularnym przykładem topologii ilorazowej jest zdefiniowanie relacji równoważności na przestrzeni topologicznej X. Wówczas przekształcenie f jest naturalnym rzutem na zbiór klas abstrakcji.

Topologia Vietorisa na zbiorze wszystkich niepustych podzbiorów przestrzeni topologicznej X, nosząca nazwisko Leopolda Vietorisa, jest generowana przez następującą bazę: dla każdej n-tki U_1, \dots, U_n zbiorów otwartych w X konstruuje się bazę składającą się ze wszystkich podzbiorów sumy U_i, które mają niepuste przecięcie z każdym U_i.

Klasyfikacja[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: niezmiennik topologiczny.

Przestrzenie można sklasyfikować, co do homeomorfizmu, zgodnie z ich niezmiennikami topologicznymi. Aby udowodnić, że dwie przestrzenie nie są homeomorficzne wystarczy wskazać niezmiennik, który posiada tylko jedna z nich. Przykładami takich niezmienników są m.in. spójność, zwartość, ośrodkowość (lecz nie zupełność, która jest niezmiennikiem metrycznym), czy różne aksjomaty oddzielania.

Struktury algebraiczne[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego obiektu algebraicznego można wprowadzić topologię dyskretną, w której działania algebraiczne są funkcjami ciągłymi. W każdej takiej strukturze, która nie jest skończona, istnieje często topologia naturalna, zgodna z działaniami algebraicznymi w tym sensie, że dalej są one ciągłe. Prowadzi to do takich pojęć jak grupy topologiczne, przestrzenie liniowo-topologiczne, pierścienie topologiczne, czy ciała lokalne.

Przypadki szczególne i uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Następujące przestrzenie i algebry są przypadkami szczególnymi lub ogólnymi od przedstawionych wyżej przestrzeni topologicznych:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Kołodziej Witold, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, str. 71 -72.
  2. Kołodziej Witold, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, str. 71 -72.
  3. Lynn Arthur Steen i J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, Nowy Jork, 1978. Przedruk: Dover Publications, Nowy Jork, 1995. ISBN 0-486-68735-X (wydanie Dover).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Engelking Ryszard: Topologia ogólna Warszawa: PWN 1976.
  • Kuratowski Kazimierz: Wstęp do teorii mnogosci i topologii. Wyd. 4. Warszawa: PWN, 1966.
  • Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009.
  • Handbook of set-theoretic topology. Red. Kenneth Kunen i Jerry E. Vaughan. Wyd. 1. Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1984.
  • Nagata Jun-iti: Modern General Topology. Wyd. 2 (poprawione). Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1985.