Przestrzeń topologiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń topologicznazbiór wraz z wyróżnioną rodziną podzbiorów tego zbioru spełniających odpowiednie własności zwane aksjomatami topologii. Rodzinę nazywa się topologią na zbiorze . Elementy rodziny nazywa się zbiorami otwartymi w , a ich dopełnienia - zbiorami domkniętymi. W niepustym zbiorze można wyróżnić wiele różnych topologii.

Przestrzeń topologiczną nazywa się przestrzenią metryzowalną, gdy jej topologię można uzyskać za pomocą jakiejś metryki. Nie wszystkie przestrzenie topologiczne są metryzowalne – stąd pojęcie przestrzeni topologicznej jest ogólniejsze od pojęcia przestrzeni metrycznej. Intuicyjnie, topologia przestrzeni topologicznej umożliwia określenie, czy dany punkt przestrzeni „styka się” z danym podzbiorem lub jest od niego "odizolowany", czy leży w jego "wnętrzu" lub na "obrzeżach".

Każda przestrzeń metryczna jest przestrzenią topologiczną; wszystkie pojęcia topologiczne można w niej definiować korzystając z metryki. Np. zbiór przestrzeni metrycznej określa się jako otwarty, gdy jest sumą kul otwartych; zbiór określa się jako domknięty, gdy należą do niego punkty, będące granicami wszystkich ciągów zawartych w tym zbiorze (przy czym definicje kul oraz granic ciągów opierają się na jakiejś metryce).

Przestrzenie topologiczne pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki takich jak analiza matematyczna, teoria porządków (zob. topologia porządkowa) czy geometria algebraiczna (zob. topologia Zariskiego). Pojęcie topologii jest podstawowym pojęciem topologii ogólnej.

Motywacja[edytuj]

Niezmienniki przestrzeni topologicznych - to własności zachowujące się mimo przekształceń homeomorficznych, tj. bez rozrywania i sklejania: kubek i torus są homeomorficzne – można przekształcić jeden w drugi.

Wiele własności obiektów studiowanych w analizie matematycznej można scharakteryzować (niekiedy wyłącznie) za pomocą zbiorów otwartych. Przykładowo:

1) ścisła definicja ciągłości funkcja wymaga odwołania się do zbiorów otwartych, np. funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz dowolnego otwartego zbioru jest otwarty.

2) W przestrzeni metrycznej kulę otwartą (O, R) definiuje się jako zbiór punktów odległych od danego punktu O o mniej niż zadana odległość R. Zbiory otwarte definiuje się wtedy jako sumy (również nieprzeliczalne) takich kul. Np. kulami otwartymi na prostej są przedziały otwarte, np. (2, 7), zaś zbiorami otwartymi – ich sumy. Podzbiory otwarte prostej rzeczywistej mają szereg ważnych własności, m.in.

  • cała prosta jest zbiorem otwartym,
  • część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
  • suma przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym,
  • w szczególności otwarty jest też zbiór pusty, gdyż jest sumą pustej rodziny zbiorów otwartych.

Powyższe własności zbiorów otwartych prostej łatwo uogólniono na dowolne przestrzenie metryczne.

Okazało się, że niekiedy użyteczniejsza jest sama struktura zbiorów otwartych, a nie metryka, którą zakładano w definicji zbiorów otwartych. Przestrzeń topologiczna stanowi właśnie uogólnienie przestrzeni metrycznej w tym duchu:

Przestrzeń topologiczna jest to przestrzeń z zadanymi z góry zbiorami otwartymi, a przyjęte własności rodziny zbiorów otwartych to niezbędne minimum do budowy nietrywialnej, a zarazem spójnej teorii.

Najbardziej interesujące są niezmienniki czyli własności przestrzeni topologicznych, które zachowują się mimo przekształcania przestrzeni. W szczególności bada się niezmienniki homeomorfizmów - przekształceń, które polegają na rozciąganiu, ściskanie, skręcaniu przestrzeni, z wyłączeniem rozrywania i sklejania. Niezmiennikami topologicznymi są np. zwartość, ośrodkowość i spójność (lecz nie zupełność, która jest niezmiennikiem metrycznym).

Topologia zbiorów otwartych[edytuj]

Cztery przykłady i dwa kontrprzykłady topologii utworzonych na zbiorze o trzech elementach {1,2,3}. U dołu pokazano zbiory podzbiorów, które nie są topologiami: z lewej brakuje sumy podzbiorów {2} i {3} [tj. {2,3}], z prawej zaś brakuje części wspólnej podzbiorów {1,2} i {2,3} [tj. {2}].

Niech dany będzie zbiór . Rodzina złożona z podzbiorów zbioru nazywana jest topologią (topologią zbiorów otwartych) na tym zbiorze, jeśli podzbiory te spełniają następujące warunki[1]:

  • zbiór i zbiór pusty należą do
,
  • część wspólna dowolnych dwóch zbiorów należących do także należy do
,
  • suma dowolnej mnogości zbiorów należących do także należy do
,
gdzie - tzw. zbiór indeksów (może być nieprzeliczalny, np. zbiór liczb rzeczywistych),

przy czym elementy rodziny nazywane są zbiorami otwartymi, ich dopełnienia do zbioru nazywane są zbiorami domkniętymi; zbiory, które są jednocześnie otwarte i domknięte, nazywane są zbiorami otwarto-domkniętymi.

Przykładowo, i zbiór pusty są otwarto-domknięte w każdej przestrzeni topologicznej.

Uwaga o nieskończonym iloczynie zbiorów otwartych[edytuj]

Nieskończony iloczyn zbiorów należących do topologii może dać zbiór do niej nie należący.

Np. niech będzie przestrzenią topologiczną, gdzie jest standardową topologią zdefiniowaną za pomocą przedziałów otwartych. Nieskończony iloczyn przedziałów otwartych prostej może dać przedział domknięty:

.

Dlatego drugi warunek definiujący topologię jest równoważny wymaganiu, by iloczyn jedynie skończonej liczby zbiorów należących do dawał zbiór także należący do . Natomiast trzeci warunek dozwala tworzyć nawet nieprzeliczalne sumy zbiorów, gdyż analogiczny problem tu nie zachodzi.

Definicja przestrzeni topologicznej[edytuj]

Przestrzenią topologiczną nazywa się zbiór z określoną nań topologią , czyli parę uporządkowaną .

Definicje wnętrza, domknięcia i brzegu[edytuj]

 Osobne artykuły: wnętrze, domknięciebrzeg.

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna . Niech oznacza dopełnienie zbioru

1) Wnętrze zbioru - to największy (w sensie zawierania) zbiór otwarty zawarty w , tzn.

( gdzie int - to skrót od ang. interior = wnętrze ).

2) Domknięcie zbioru - to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór , tzn.

( gdzie cl - to skrót od ang. closure = domknięcie ).

3) Brzeg zbioru - to różnica domknięcia i wnętrza tego zbioru, tzn.

( gdzie bd, fr - to skróty od ang. border, frontier = brzeg ).

Twierdzenia[edytuj]

Twierdzenie 1: Operacje wnętrza, domknięcia i brzegu są idempotentne.

Twierdzenie 2: Operacje wnętrza i domknięcia są do siebie dualne w następującym sensie:

  - dopełnienie domknięcia jest wnętrzem dopełnienia,
  - dopełnienie wnętrza jest domknięciem dopełnienia.

Twierdzenie 3.

a) Wnętrzem zbioru otwartego jest ten właśnie zbiór.

b) Zbiór jest otwarty, jeśli jest równy swemu wnętrzu.

Twierdzenie 4.

a) Domknięciem zbioru domkniętego jest właśnie ten zbiór.

b) Zbiór jest domknięty, jeśli jest równy swemu domknięciu.

Przykłady topologii[edytuj]

W dowolnym zbiorze można wprowadzić wiele różnych topologii, np:

  • topologia antydyskretna, w której jedynymi zbiorami otwartymi są zbiór pusty i cała przestrzeń .
  • topologia dyskretna, w której wszystkie podzbiory zbioru są otwarte czyli topologią jest zbiór potęgowy zbioru .
  • niech jest zbiorem nieskończonym, niech oznacza moc zbioru , niech (czyt. alef zero) oznacza najmniejszą z mocy zbiorów nieskończonych (równą mocy zbioru liczb naturalnych); podane niżej rodziny podzbiorów zbioru są topologiami:
    • - topologia, w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest skończone,
    • - topologia, w której zbiorami otwartymi są te zbiory, których dopełnienie jest przeliczalne,
    • - topologia zbiorów skończonych, do których nie należy wyróżniony punkt .

Topologie często używane jako kontrprzykłady na stawiane przez matematyków hipotezy to np.

Opis nietypowych topologii można znaleźć w monografii Steena i Seebacha.[2]

Inne sposoby wprowadzania topologii[edytuj]

W rozdziale Definicja topologii podano definicję topologii zbiorów otwartych - podzbiorów zbioru dowolnie wybranych, ale spełniających szczególne trzy aksjomaty.

W praktyce jednak często najpierw opisuje się inne rodziny zbiorów lub inne operacje na zbiorach, a następnie definiuje się topologię na danej przestrzeni . Poniżej podano kilka takich alternatywnych metod.

Topologia zbiorów domkniętych[edytuj]

Jeżeli rodzina podzbiorów spełnia warunki:

  1. ,
  2. suma skończenie wielu zbiorów z należy do ,
  3. część wspólna dowolnej mnogości zbiorów z należy do ,

to istnieje jedyna topologia zbiorów otwartych na taka, że jej zbiory są dopełnieniami zbiorów rodziny . W związku z tym jest rodziną zbiorów domkniętych dla tej topologii. Rodzinę nazywa się topologię zbiorów domkniętych na przestrzeni .

Uwaga o jednoznaczności wyboru zbiorów otwartych i domkniętych[edytuj]

Zbiory otwarte od domkniętych wyróżniają jednoznacznie aksjomaty: suma dowolnej mnogości zbiorów otwartych ma dać zbiór otwarty (tj. należący do ), zaś iloczyn dowolnej mnogości zbiorów domkniętych ma dać zbiór domknięty (tj. należący do ). Np. iloczyn dowolnej mnogości zbiorów otwartych może dać zbiór domknięty. Stąd wynika, że nie da się traktować zbiorów otwartych jako domkniętych i na odwrót, czyli podział na zbiory otwarte i domknięte jest jednoznaczny.

Za pomocą operacji wnętrza[edytuj]

Twierdzenie Kuratowskiego: Jeśli dla dowolnych funkcja spełnia warunki:

(1) ,
(2) ,
(3) ,
(4) ,

to

  • rodzina jest topologią na ,
  • dla dowolnego .

Funkcję nazywa się operacją wnętrza dla powyższej topologii (lub operacją Kuratowskiego).

Za pomocą operacji domknięcia[edytuj]

Twierdzenie Kuratowskiego: Jeśli dla dowolnych funkcja spełnia warunki:

(1) ,
(2) ,
(3) ,
(4) ,

to

  • rodzina jest topologią na ,
  • dla dowolnego .

Funkcję nazywa się operacją domknięcia dla powyższej topologii .

Za pomocą wyboru bazy[edytuj]

Niech rodzina podzbiorów zbioru spełnia warunki:

(1) jeśli oraz , to można znaleźć taki że ,
(2) dla każdego można znaleźć takie że ,

wówczas istnieje (jedyna) topologia na taka, że rodzina jest bazą tej topologii.

Przykłady[edytuj]

  • Niech będzie zbiorem wszystkich ideałów pierwszych pierścienia . jest przestrzenią topologiczną, której bazą jest zbiór
, gdzie .
  • Niech . jest przestrzenią topologiczną, której bazą jest zbiór
, gdzie .

Za pomocą otoczeń[edytuj]

Niech jest rodziną podzbiorów zbioru taką, że:

(1) dla każdego , i dla każdego mamy ,
(2) jeśli , , to istnieje takie, że ,
(3) dla każdych , , można znaleźć takie, że .

Niech będzie rodziną wszystkich podzbiorów , które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny . Wówczas jest topologią na i jest systemem (bazą) otoczeń otwartych dla tej topologii.

Porównanie topologii danego zbioru[edytuj]

Definicja topologii silniejszej i słabszej[edytuj]

Jak już wspomniano, w danym zbiorze można określić wiele topologii. Jeżeli każdy zbiór otwarty w sensie topologii (tzn. element rodziny) należy również do to mówi się, że jest mocniejsza od a topologia jest słabsza od

Definicja kraty[edytuj]

Rodzina wszystkich topologii na danym zbiorze tworzy kratę zupełną z działaniami

dla

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Konstrukcje topologiczne[edytuj]

Każdy podzbiór przestrzeni topologicznej można wyposażyć w topologię podprzestrzeni, w której zbiory otwarte są przekrojami zbiorów otwartych przestrzeni z danym podzbiorem. Dla dowolnej rodziny indeksowanej przestrzeni topologicznych ich produkt może być wyposażony w topologię produktową, która jest generowana przez przeciwobrazy zbiorów otwartych czynników w przekształceniach rzutów. Przykładowo, w produktach skończonych, baza topologii produktowej składa się ze wszystkich produktów zbiorów otwartych. Dla produktów nieskończonych istnieje dodatkowy warunek, iż w zbiorze otwartym z bazy wszystkie poza skończenie wieloma z jego rzutów są całą przestrzenią.

Przestrzeń ilorazowa zdefiniowana jest następująco: jeśli jest przestrzenią topologiczną, zaś jest dowolnym zbiorem, a jest funkcją suriektywną, to topologią ilorazową na jest rodzina podzbiorów które mają otwarte przeciwobrazy w Innymi słowy topologia ilorazowa jest najbogatszą topologią na w której jest ciągłe. Popularnym przykładem topologii ilorazowej jest zdefiniowanie relacji równoważności na przestrzeni topologicznej Wówczas przekształcenie jest naturalnym rzutem na zbiór klas abstrakcji.

Topologia Vietorisa na zbiorze wszystkich niepustych podzbiorów przestrzeni topologicznej nosząca nazwisko Leopolda Vietorisa, jest generowana przez następującą bazę: dla każdej -tki zbiorów otwartych w konstruuje się bazę składającą się ze wszystkich podzbiorów sumy które mają niepuste przecięcie z każdym

Klasyfikacja[edytuj]

 Osobny artykuł: niezmiennik topologiczny.

Przestrzenie można sklasyfikować, co do homeomorfizmu, zgodnie z ich niezmiennikami topologicznymi. Aby udowodnić, że dwie przestrzenie nie są homeomorficzne wystarczy wskazać niezmiennik, który posiada tylko jedna z nich. Przykładami takich niezmienników są m.in. spójność, zwartość, ośrodkowość (lecz nie zupełność, która jest niezmiennikiem metrycznym), czy różne aksjomaty oddzielania.

Struktury algebraiczne[edytuj]

Dla dowolnego obiektu algebraicznego można wprowadzić topologię dyskretną, w której działania algebraiczne są funkcjami ciągłymi. W każdej takiej strukturze, która nie jest skończona, istnieje często topologia naturalna, zgodna z działaniami algebraicznymi w tym sensie, że dalej są one ciągłe. Prowadzi to do takich pojęć jak grupy topologiczne, przestrzenie liniowo-topologiczne, pierścienie topologiczne, czy ciała lokalne.

Przypadki szczególne i uogólnienia[edytuj]

Następujące przestrzenie i algebry są przypadkami szczególnymi lub ogólnymi przedstawionych wyżej przestrzeni topologicznych:

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Kołodziej Witold, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, str. 71 -72.
  2. Lynn Arthur Steen i J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, Nowy Jork, 1978. Przedruk: Dover Publications, Nowy Jork, 1995. ISBN 0-486-68735-X (wydanie Dover).

Bibliografia[edytuj]

  • Engelking Ryszard: Topologia ogólna, Warszawa: PWN, 1976.
  • Kuratowski Kazimierz: Wstęp do teorii mnogosci i topologii. Wyd. 4, Warszawa: PWN, 1966.
  • Kołodziej Witold: Analiza matematyczna, Warszawa: PWN, 2009.
  • Handbook of set-theoretic topology. Red. Kenneth Kunen i Jerry E. Vaughan. Wyd. 1. Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1984.
  • Nagata Jun-iti: Modern General Topology. Wyd. 2 (poprawione). Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1985.

Linki zewnętrzne[edytuj]