Homotopia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Homotopiaciągłe przejście między dwoma przekształceniami ciągłymi przestrzeni topologicznych, tj. takie, za pomocą którego można w jednostce czasu w wyniku ciągłej deformacji z jednego przekształcenia otrzymać drugie. Działem matematyki, w którym się je rozważa, jest teoria homotopii, gałąź topologii algebraicznej.

Pojęcie homotopii prowadzi do homotopijnej równoważności, relacji równoważności, która pozwala na bardziej elastyczną niż relacja homeomorfizmu klasyfikację przestrzeni topologicznych zachowując przy tym ważne ich własności w obrębie jednej klasy równoważności (klasy homotopii).

Homotopia między kubkiem a obwarzankiem (torusem).

Definicja[edytuj]

Niech będą przekształceniami ciągłymi określonymi na przestrzeniach topologicznych oraz będzie przedziałem jednostkowym. Jeżeli istnieje ciągłe odwzorowanie takie, że oraz dla , to nazywa się je homotopią przekształceń i i oznacza , same przekształcenia określa się wtedy jako homotopijne.

Rodziny przekształceń[edytuj]

Homotopia określa rodzinę przekształceń taką, że , ciągłą ze względu na każdy ze swoich argumentów, przy czym oraz .

Homotopia wyznacza również rodzinę dróg łączących z dla .

Ściągalność i gwiaździstość[edytuj]

Przestrzeń nazywa się ściągalną, jeżeli jest homotopijna z przekształceniem stałym dla pewnego punktu .

Dla podzbiorów przestrzeni euklidesowej, gdzie określona jest różniczkowalność można nakładać dodatkowe warunki na ściągalność zbioru. Obszar nazywa się ściągalnym różniczkowalnie do punktu , jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe klasy , takie, że dla każdego

.

Obszar określa się jako gwiaździsty względem punktu , jeśli dla każdego odcinek łączący punkt z zawiera się w , tj. .

Łatwo wykazać, że zbiór gwiaździsty względem punktu jest ściągalny do . Żądane odwzorowanie jest postaci . Dla obszarów ściągalnych zachodzi lemat Poincarégo.

Relacja równoważności[edytuj]

Dla ustalonych przestrzeni topologicznych relacja homotopii w przestrzeni funkcji ciągłych jest relacją równoważności. Jej klasy równoważności nazywa się klasami homotopii.

Zwrotność jest oczywista, symetria polega na odwróceniu przechodzenia po przedziale , przechodniość wynika ze składania odwzorowań: pierwsza połowa służy do przejścia po pierwszym odwzorowaniu, druga – po drugim, złożenie odwzorowań ciągłych jest ciągłe.

Przykłady[edytuj]

  • Jeśli , to funkcje i są zawsze homotopijne między sobą. Wystarczy przyjąć .
  • Jeśli -wymiarowa sfera jednostkowa, to powyższe nie jest prawdą. Na przykład, identyczność i funkcja stała nie są homotopijne[1].

Przedłużanie homotopii[edytuj]

Zachodzi następujące twierdzenie Borsuka o przedłużaniu homotopii, sformułowane przez Karola Borsuka w 1937[2]:

Niech będzie przestrzenią normalną, a jej domkniętą podprzestrzenią. Jeśli są homotopijne oraz jest przedłużalne na , to jest przedłużalne na oraz dla każdego przedłużenia można znaleźć przedłużenie z nim homotopijne.

Często, dla uproszczenia dowodu, zakłada się dodatkowo przeliczalną parazwartość przestrzeni .

Homotopijna równoważność[edytuj]

Przestrzenie oraz homotopijnie równoważne lub mają ten sam typ homotopii, jeżeli istnieją przekształcenia ciągłe oraz takie, że oraz .

Homotopijna równoważność jest słabszą własnością klasyfikującą przestrzenie topologiczne niż homeomorficzność. Przestrzenie topologiczne o tym samym typie homotopii są nieodróżnialne na gruncie teorii homotopii i homologii. Przede wszystkim wszystkie grupy homotopii i homologii przestrzeni homotopijnie ze sobą równoważnych są izomorficzne.

Przykłady[edytuj]

  • Przestrzeń ściągalna jest homotopijnie równoważna z przestrzenią jednopunktową , ponieważ oraz dla dla dowolnego .
  • Zbiory i z topologią euklidesową są homotopijnie równoważne, lecz nie są homeomorficzne (z powodu zwartości pierwszej przestrzeni i braku zwartości drugiej).
  • Okrąg jednostkowy jest homotopijnie równoważny z płaszczyzną bez punktu, , te przestrzenie również nie są homeomorficzne z tego samego powodu (przy założeniu topologii euklidesowej).

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Kuratowski, Kazimierz Wstęp do teorii mnogości i topologii, s. 211; PWN, Warszawa, 1966.
  2. Borsuk, Karol Sur les prolongements des transformations continues, s. 99-110; Fund. Math. 28, Warszawa, 1937.

Bibliografia[edytuj]