Rozszerzenie Picarda Vessiot

Rozważmy liniowe równanie różniczkowe jednorodne

$y^{(n)}+a_{1}y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_{n}y=0$

o współczynnikach w ciele różniczkowym K. Mówimy, że M jest rozszerzeniem Picarda Vessiot ciała K, jeżeli

1. M=K$(u_{1},...,u_{n}),$ gdzie $u_{1},\dots ,u_{n}$ są liniowo niezależnymi (nad ciałem stałych) rozwiązaniami rozważanego równania (przez K$(u_{1},\dots ,u_{n})$ rozumiemy najmniejsze ciało różniczkowe zawierające K,$u_{1},\dots ,u_{n}$).
2. M ma to samo ciało stałych co K

Aby sprawdzić 1. warunek wystarczy znaleźć wrońskian $u_{1},\dots ,u_{n}$

Tw. Jeśli K ma charakterystykę 0 oraz jego ciało stałych jest algebraicznie domknięte, to dla każdego liniowego równania różniczkowego jednorodnego istnieje rozszerzenie Picarda Vessiot.

Przykłady

1. Dołączanie całki (adjunction of an integral)

Niech K będzie ciałem różniczkowym charakterystyki 0. Niech u będzie elementem większego ciała różniczkowego, u'=a ∈ K, gdzie, a nie jest pochodną żadnego elementu K. Wtedy u jest przestępny nad K, K(u) jest rozszerzeniem Picarda Vessiot ciała K oraz jego różniczkowa grupa Galois jest izomorficzna z addytywną grupą stałych w K.

2. Dołączanie exponenta całki (adjunction of an exponential of an integral)

Niech K będzie ciałem różniczkowym, u elementem spełniającym równanie y'-ay=0, a ∈ K. Przypuśćmy, że K(u) ma to samo ciało stałych, co K. Wtedy K(u) jest rozszerzeniem Picarda Vessiot, jego różniczkowa grupa Galois jest izomorficzna z pewną podgrupą multiplikatywnej grupy niezerowych stałych w K.

Bibliografia

• Irving Kaplansky: An introduction to differential algebra.brak strony w książce