Przejdź do zawartości

Wrońskian

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Wrońskianwyznacznik znajdujący zastosowanie w rachunku różniczkowym i równaniach różniczkowych, opracowany przez polskiego matematyka Józefa Hoene-Wrońskiego, nazwany tak na jego cześć[1].

Jednym z zastosowań jest użycie lematu Wrońskiego do znajdowania układów funkcji liniowo niezależnych.

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Niech będą -krotnie różniczkowalnymi funkcjami. Macierz funkcji i ich pochodnych kolejnych rzędów

nazywa się macierzą fundamentalną[a] lub macierzą Wrońskiego.

Wrońskianem nazywa się wyznacznik macierzy fundamentalnej,

W algebrze różniczkowej uogólnia się to pojęcie w naturalny sposób. Niech F będzie ciałem różniczkowym, Wrońskianem tych elementów nazywamy wyznacznik macierzy

W tym przypadku zachodzi twierdzenie:

Niech F będzie ciałem różniczkowym, C jego ciałem stałych. Wtedy są liniowo zależne nad C wtedy i tylko wtedy gdy ich wrońskian jest tożsamościowo równy 0[2].

Własności

[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcje są liniowo zależne w danym zbiorze, to ich wrońskian jest w tym zbiorze tożsamościowo równy zeru. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czego przykładem są funkcje

oraz

Przykład zastosowania

[edytuj | edytuj kod]

Sprawdzić czy podane funkcje wektorowe oraz tworzą układ fundamentalny rozwiązań układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu postaci:

Rozwiązanie:

Sprawdzamy najpierw czy podane funkcje są rozwiązaniami danego układu równań

a) tzn. jest rozwiązaniem.

b) tzn. również jest rozwiązaniem.

Aby sprawdzić czy powyższe funkcje tworzą układ liniowo niezależny wykorzystamy wrońskian:

Oznaczmy(jak w definicji wrońskianu):

Wtedy:

c)

Wrońskian jest niezerowy, co oznacza, że funkcje tworzą układ liniowo niezależny.

Z podpunktów a), b) i c) oraz z faktu, że rozwiązania należą do przestrzeni wnioskujemy, że układ jest układem fundamentalnym rozwiązań danego układu równań dla

  1. Macierz fundamentalna przy układach równań różniczkowych rzędu pierwszego NIE jest macierzą Wrońskiego – nosi jedynie taką samą nazwę.

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Wronskian, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-22].
  2. Dowód można znaleźć np. w I. Kaplansky, An introduction to differential algebra.

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania.
  • Irving Kaplansky: An introduction to differential algebra.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]
  • Eric W. Weisstein, Wronskian, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-06-01].
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Wronskian (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].