Wrońskian – wyznacznik znajdujący zastosowanie w rachunku różniczkowym i równaniach różniczkowych, opracowany przez polskiego matematyka Józefa Hoene-Wrońskiego, nazwany tak na jego cześć.
Jednym z zastosowań jest użycie lematu Wrońskiego do znajdowania układów funkcji liniowo niezależnych.
Niech
będą
-krotnie różniczkowalnymi funkcjami. Macierz

funkcji i ich pochodnych takiej, że pierwszym wierszu znajdują się funkcje
w drugim ich pierwsze pochodne, a w dalszych kolejne, aż do pochodnej rzędu
w ostatnim wierszu macierzy, nazywa się macierzą fundamentalną (macierz fundamentalna przy układach równań różniczkowych rzędu pierwszego NIE jest macierzą Wrońskiego – jedynie ma taką samą nazwę [przyp. macierz fundamentalna]) lub Wrońskiego.
Wrońskianem nazywa się wyznacznik macierzy fundamentalnej,

W algebrze różniczkowej uogólnia się to pojęcie w naturalny sposób. Niech F będzie ciałem różniczkowym,
Wrońskianem tych elementów nazywamy wyznacznik macierzy

W tym przypadku zachodzi twierdzenie:
Niech F będzie ciałem rózniczkowym, C jego ciałem stałych. Wtedy
są liniowo zależne nad C ⇔ gdy ich wrońskian jest tożsamościowo równy 0[1].
Jeżeli funkcje są liniowo zależne w danym zbiorze, to ich wrońskian jest w tym zbiorze tożsamościowo równy zeru. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czego przykładem są funkcje

oraz

Sprawdzić czy podane funkcje wektorowe
oraz
tworzą układ fundamentalny rozwiązań układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu postaci:
Rozwiązanie:
Sprawdzamy najpierw czy podane funkcje są rozwiązaniami danego układu równań
a)
tzn.
jest rozwiązaniem.
b)
tzn.
również jest rozwiązaniem.
Aby sprawdzić czy powyższe funkcje tworzą układ liniowo niezależny wykorzystamy wrońskian:
Oznaczmy(jak w definicji wrońskianu):
Wtedy:
c)
Wrońskian jest niezerowy, co oznacza, że funkcje tworzą układ liniowo niezależny.
Z podpunktów a), b) i c) oraz z faktu, że rozwiązania należą do przestrzeni
wnioskujemy, że układ
jest układem fundamentalnym rozwiązań danego układu równań dla
- ↑ Dowód można znaleźć np. w I.Kaplansky, An introduction to differential algebra.
- Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania.
- Irving Kaplansky: An introduction to differential algebra.