Wrońskian

Wrońskian – wyznacznik znajdujący zastosowanie w rachunku różniczkowym i równaniach różniczkowych, opracowany przez polskiego matematyka Józefa Hoene-Wrońskiego, nazwany tak na jego cześć.

Jednym z zastosowań jest użycie lematu Wrońskiego do znajdowania układów funkcji liniowo niezależnych.

Definicja

Niech $f_{1},\dots ,f_{n}\in C^{(n-1)}(\mathbb {R} )$$f_{1},\dots ,f_{n}\in C^{(n-1)}(\mathbb {R} )$ będą $(n-1)$$(n-1)$-krotnie różniczkowalnymi funkcjami. Macierz

$F(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})={\begin{bmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{bmatrix}}$$F(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})={\begin{bmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots &f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots &f_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots &f_{n}^{(n-1)}\end{bmatrix}}$

funkcji i ich pochodnych takiej, że pierwszym wierszu znajdują się funkcje $f_{1},\dots ,f_{n}$$f_{1},\dots ,f_{n}$, w drugim ich pierwsze pochodne, a w dalszych kolejne, aż do pochodnej rzędu $n-1$$n-1$ w ostatnim wierszu macierzy, nazywa się macierzą fundamentalną (macierz fundamentalna przy układach równań różniczkowych rzędu pierwszego NIE jest macierzą Wrońskiego - jedynie ma taką samą nazwę [przyp. macierz fundamentalna]) lub Wrońskiego.

Wrońskianem nazywa się wyznacznik macierzy fundamentalnej,

$W(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})=|F(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})|$$W(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})=|F(f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})|$.

W algebrze różniczkowej uogólnia się to pojęcie w naturalny sposób. Niech F będzie ciałem różniczkowym, $y_{1},y_{2}...,y_{n}$$y_{1},y_{2}...,y_{n}$∈ F. Wrońskianem tych elementów nazywamy wyznacznik macierzy

${\begin{bmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y_{1}'&y_{2}'&\cdots &y_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots &y_{n}^{(n-1)}\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots &y_{n}\\y_{1}'&y_{2}'&\cdots &y_{n}'\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots &y_{n}^{(n-1)}\end{bmatrix}}$

W tym przypadku zachodzi twierdzenie:

Niech F będzie ciałem rózniczkowym, C jego ciałem stałych. Wtedy $y_{1},y_{2}...,y_{n}$$y_{1},y_{2}...,y_{n}$ są liniowo zależne nad C ⇔ gdy ich wrońskian jest tożsamościowo równy 0.

Własności

Jeżeli funkcje są liniowo zależne w danym zbiorze, to ich wrońskian jest w tym zbiorze tożsamościowo równy zeru. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czego przykładem są funkcje

$f_{1}(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{dla }}x<0\\0&{\mbox{dla }}x\geqslant 0\end{cases}}$$f_{1}(x)={\begin{cases}x^{2}&{\mbox{dla }}x<0\\0&{\mbox{dla }}x\geqslant 0\end{cases}}$

oraz

$f_{2}(x)={\begin{cases}0&{\mbox{dla }}x<0\\x^{2}&{\mbox{dla }}x\geqslant 0\end{cases}}$$f_{2}(x)={\begin{cases}0&{\mbox{dla }}x<0\\x^{2}&{\mbox{dla }}x\geqslant 0\end{cases}}$.

Przykład zastosowania

Sprawdzić czy podane funkcje wektorowe $y_{1}(t)={\begin{bmatrix}t^{2}\\2t\end{bmatrix}}$$y_{1}(t)={\begin{bmatrix}t^{2}\\2t\end{bmatrix}}$ oraz $y_{2}(t)={\begin{bmatrix}{\frac {1}{t}}\\-{\frac {1}{t^{2}}}\end{bmatrix}}$$y_{2}(t)={\begin{bmatrix}{\frac {1}{t}}\\-{\frac {1}{t^{2}}}\end{bmatrix}}$ tworzą układ fundamentalny rozwiązań układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu postaci: $y'(t)={\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}y(t)\ ,\ t\in (0,\infty )$$y'(t)={\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}y(t)\ ,\ t\in (0,\infty )$

Rozwiązanie:

Sprawdzamy najpierw czy podane funkcje są rozwiązaniami danego układu równań
a) ${\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}y_{1}(t)={\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t^{2}\\2t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2t\\2\end{bmatrix}}=y_{1}'(t)$${\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}y_{1}(t)={\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t^{2}\\2t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2t\\2\end{bmatrix}}=y_{1}'(t)$ tzn. $y_{1}\,$$y_{1}\,$ jest rozwiązaniem.

b) ${\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}y_{2}(t)={\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{t}}\\-{\frac {1}{t^{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{t^{2}}}\\{\frac {2}{t^{3}}}\end{bmatrix}}=y_{2}'(t)$${\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}y_{2}(t)={\begin{bmatrix}0&1\\{\frac {2}{t^{2}}}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{t}}\\-{\frac {1}{t^{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{t^{2}}}\\{\frac {2}{t^{3}}}\end{bmatrix}}=y_{2}'(t)$ tzn. $y_{2}\,$$y_{2}\,$ również jest rozwiązaniem.

Aby sprawdzić czy powyższe funkcje tworzą układ liniowo niezależny wykorzystamy wrońskian:
Oznaczmy(jak w definicji wrońskianu): $f_{1}(t):=t^{2}\ ,\ f_{2}(t):={\frac {1}{t}}.\ f_{1},f_{2}\in C^{1}\ ,\ t\in (0,\infty )$$f_{1}(t):=t^{2}\ ,\ f_{2}(t):={\frac {1}{t}}.\ f_{1},f_{2}\in C^{1}\ ,\ t\in (0,\infty )$
Wtedy: $f_{1}'(t)=2t\ ,\ f_{2}'(t)=-{\frac {1}{t^{2}}}$$f_{1}'(t)=2t\ ,\ f_{2}'(t)=-{\frac {1}{t^{2}}}$

c) $det{\begin{bmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)\\f_{1}'(t)&f_{2}'(t)\end{bmatrix}}=det{\begin{bmatrix}y_{1}(t)&|&y_{2}(t)\end{bmatrix}}=det{\begin{bmatrix}t^{2}&{\frac {1}{t}}\\2t&-{\frac {1}{t^{2}}}\end{bmatrix}}=-1-2=-3\not =0$$det{\begin{bmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)\\f_{1}'(t)&f_{2}'(t)\end{bmatrix}}=det{\begin{bmatrix}y_{1}(t)&|&y_{2}(t)\end{bmatrix}}=det{\begin{bmatrix}t^{2}&{\frac {1}{t}}\\2t&-{\frac {1}{t^{2}}}\end{bmatrix}}=-1-2=-3\not =0$
Wrońskian jest niezerowy co oznacza, że funkcje tworzą układ liniowo niezależny.

Z podpunktów a), b) i c) oraz z faktu, że rozwiązania należą do przestrzeni $\mathbb {R} ^{2}$$\mathbb{R}^2$ wnioskujemy, że układ $(y_{1},y_{2})\,$$(y_{1},y_{2})\,$ jest układem fundamentalnym rozwiązań danego układu równań dla $t\in (0,\infty )$$t\in (0,\infty )$.

Bibliografia

1. Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania.
2. Irving Kaplansky: An introduction to differential algebra.