Wrońskian

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wrońskianwyznacznik znajdujący zastosowanie w rachunku różniczkowym i równaniach różniczkowych, opracowany przez polskiego matematyka Józefa Hoene-Wrońskiego, nazwany tak na jego cześć.

Jednym z zastosowań jest użycie lematu Wrońskiego do znajdowania układów funkcji liniowo niezależnych.

Definicja[edytuj]

Niech będą -krotnie różniczkowalnymi funkcjami. Macierz

funkcji i ich pochodnych takiej, że pierwszym wierszu znajdują się funkcje , w drugim ich pierwsze pochodne, a w dalszych kolejne, aż do pochodnej rzędu w ostatnim wierszu macierzy, nazywa się macierzą fundamentalną (macierz fundamentalna przy układach równań różniczkowych rzędu pierwszego NIE jest macierzą Wrońskiego - jedynie ma taką samą nazwę [przyp. macierz fundamentalna]) lub Wrońskiego.

Wrońskianem nazywa się wyznacznik macierzy fundamentalnej,

.

W algebrze różniczkowej uogólnia się to pojęcie w naturalny sposób. Niech F będzie ciałem różniczkowym, ∈ F. Wrońskianem tych elementów nazywamy wyznacznik macierzy

W tym przypadku zachodzi twierdzenie:

Niech F będzie ciałem rózniczkowym, C jego ciałem stałych. Wtedy są liniowo zależne nad C ⇔ gdy ich wrońskian jest tożsamościowo równy 0[1].

Własności[edytuj]

Jeżeli funkcje są liniowo zależne w danym zbiorze, to ich wrońskian jest w tym zbiorze tożsamościowo równy zeru. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czego przykładem są funkcje

oraz

.

Przykład zastosowania[edytuj]

Sprawdzić czy podane funkcje wektorowe oraz tworzą układ fundamentalny rozwiązań układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu postaci:

Rozwiązanie:

Sprawdzamy najpierw czy podane funkcje są rozwiązaniami danego układu równań
a) tzn. jest rozwiązaniem.

b) tzn. również jest rozwiązaniem.

Aby sprawdzić czy powyższe funkcje tworzą układ liniowo niezależny wykorzystamy wrońskian:
Oznaczmy(jak w definicji wrońskianu):
Wtedy:

c)
Wrońskian jest niezerowy co oznacza, że funkcje tworzą układ liniowo niezależny.

Z podpunktów a), b) i c) oraz z faktu, że rozwiązania należą do przestrzeni wnioskujemy, że układ jest układem fundamentalnym rozwiązań danego układu równań dla .

Przypisy

  1. Dowód można znaleźć np. w I.Kaplansky, An introduction to differential algebra

Bibliografia[edytuj]

  1. Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania.
  2. Irving Kaplansky: An introduction to differential algebra.