Ciało algebraicznie domknięte

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ciało algebraicznie domknięte to takie ciało, w którym każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej ma pierwiastek w .

Równoważnie można je zdefiniować jako ciało, które nie ma nietrywialnych rozszerzeń algebraicznych: z tego, że jest rozszerzeniem algebraicznym , wynika, że .

Każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego. Rozszerzenie ciała , które jest algebraiczne i jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywamy domknięciem algebraicznym ciała . Za przykład niech posłuży ciało liczb rzeczywistych. Ciało to nie jest algebraicznie domknięte: wielomian nie ma pierwiastków w tym ciele. Domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych jest jednak ciało liczb zespolonych (dla powyższego wielomianu pierwiastkami w ciele liczb zespolonych są oraz ).

Ponieważ dla każdego ciała istnieje jego rozszerzenie będące ciałem algebraicznie domkniętym, a zbiór elementów algebraicznych nad należących do jest rozszerzeniem algebraicznym oraz ciałem algebraicznie domkniętym, dla każdego ciała istnieje jego algebraiczne domknięcie.

Twierdzenie mówiące o tym, że ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym nazywa się „zasadniczym twierdzeniem algebry” i pociąga za sobą istotne konsekwencje, jak chociażby fakt, że każdą macierz o współczynnikach zespolonych można sprowadzić do postaci Jordana.

Jedną z najważniejszych własności ciał algebraicznie domkniętych jest twierdzenie Hilberta o zerach:

Jeśli jest ciałem algebraicznie domkniętym, to dla każdych liczb naturalnych i dla dowolnych wielomianów o współczynnikach z ciała następujące warunki są równoważne:

  • układ równań ma rozwiązanie w ;
  • ideał jest ideałem właściwym pierścienia wielomianów .

Innymi słowy, taki układ równań nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy jest sprzeczny, tzn. gdy istnieją wielomiany o współczynnikach z ciała takie, że

.

Domknięcie algebraiczne ciała [edytuj]

Nie istnieją ciała skończone, algebraicznie domknięte. Oznacza to, że istnieją ciała nieskończone o skończonej charakterystyce. Przykładem takiego ciała może być algebraiczne domknięcie ciała :

Dla każdego istnieje jedyne ciało o elementach. Na przykład ciało można reprezentować jako , gdzie .

Dla każdego , wtedy i tylko wtedy, gdy jest dzielnikiem liczby . Więc dla każdego można znaleźć skończone ciało zawierające i , np ciało . Z tego możemy wywnioskować, że suma wszystkich ciał jest znowu ciałem, które oznaczamy .

Każdy wielomian ze współczynnikami w ciele ma w rzeczywistości współczynniki w pewnym ciele skończonym , więc ma pierwiastek w pewnym skończonym rozszerzeniu ciała ; to rozszerzenie musi być ciałem skończonym o charakterystyce 3, tzn. pewnym ciałem .

Więc ciało (zbiór nieskończony, ale przeliczalny) jest algebraicznie domknięte.

Domknięcie algebraiczne ciała liczb wymiernych[edytuj]

Domknięcie algebraiczne ciała liczb wymiernych nazywamy ciałem liczb algebraicznych. Jest ono (przeliczalnym) podciałem ciała liczb zespolonych; elementy ciała nazywamy liczbami algebraicznymi; pozostałe liczby zespolone nazywamy liczbami przestępnymi. Georg Cantor udowodnił, że ciało jest przeliczalne, a ciała i są nieprzeliczalne. Dowód Cantora, używający metod z zapoczątkowanej przez niego teorii monogości, był nową konstrukcją liczb przestępnych; Liouville w 1844 r. znalazł liczby przestępne używając metody z teorii liczb.

Nieprzywiedlność wielomianów[edytuj]

Ciało jest ciałem algebraicznie domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi nieprzywiedlnymi w nim wielomianami są wielomiany stopnia pierwszego[1].

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.311, Wniosek 16.2

Literatura[edytuj]

  • J. Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.