Ciało algebraicznie domknięte

Ciało algebraicznie domknięte $F$ to takie ciało, w którym każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej ma pierwiastek w $F$.

Równoważnie można je zdefiniować jako ciało, które nie ma nietrywialnych rozszerzeń algebraicznych: z tego, że $K$ jest rozszerzeniem algebraicznym $F$, wynika, że $K=F$.

Każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego. Rozszerzenie ciała $F$, które jest algebraiczne i jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywamy domknięciem algebraicznym ciała $F$. Za przykład niech posłuży ciało liczb rzeczywistych. Ciało to nie jest algebraicznie domknięte: wielomian $w(x)=x^{2}+1$ nie ma pierwiastków w tym ciele. Domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych jest jednak ciało liczb zespolonych (dla powyższego wielomianu pierwiastkami w ciele liczb zespolonych są $i$ oraz $-i$).

Ponieważ dla każdego ciała $F$ istnieje jego rozszerzenie $K$ będące ciałem algebraicznie domkniętym, a zbiór elementów algebraicznych nad $F$ należących do $K$ jest rozszerzeniem algebraicznym $F$ oraz ciałem algebraicznie domkniętym, dla każdego ciała istnieje jego algebraiczne domknięcie.

Twierdzenie mówiące o tym, że ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym nazywa się „zasadniczym twierdzeniem algebry” i pociąga za sobą istotne konsekwencje, jak chociażby fakt, że każdą macierz o współczynnikach zespolonych można sprowadzić do postaci Jordana.

Jedną z najważniejszych własności ciał algebraicznie domkniętych jest twierdzenie Hilberta o zerach:

Jeśli $F$ jest ciałem algebraicznie domkniętym, to dla każdych liczb naturalnych $n,m$ i dla dowolnych wielomianów $f_{1}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}),\ldots ,f_{m}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ o współczynnikach z ciała $F$ następujące warunki są równoważne:

• układ równań $f_{1}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=0,\ldots ,f_{m}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=0$ ma rozwiązanie w $F$;

• ideał $(f_{1}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}),\ldots ,f_{m}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))$ jest ideałem właściwym pierścienia wielomianów $F[X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}]$.

Innymi słowy, taki układ równań nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy jest sprzeczny, tzn. gdy istnieją wielomiany $g_{1}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}),\ldots ,g_{m}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})$ o współczynnikach z ciała $F$ takie, że

$g_{1}\cdot f_{1}+\cdots +g_{m}\cdot f_{m}=1$.

Domknięcie algebraiczne ciała $\mathbb {Z} _{p}$

Nie istnieją ciała skończone, algebraicznie domknięte. Oznacza to, że istnieją ciała nieskończone o skończonej charakterystyce. Przykładem takiego ciała może być algebraiczne domknięcie ciała $GF(3)=\mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}$:

Dla każdego $k=1,2,\ldots$ istnieje jedyne ciało $GF(3^{k})$ o $3^{k}$ elementach. Na przykład ciało $GF(3^{2})$ można reprezentować jako $\mathbb {Z} _{3}({\sqrt {2}})=\{0,1,2,\;\alpha ,\,\alpha +1,\,\alpha +2,\;2\alpha ,\,2\alpha +1,\,2\alpha +2\}$, gdzie $\alpha ^{2}=2$.

Dla każdego $m,n\in \mathbb {N} \setminus \{0\}$, $GF(3^{m})\subseteq GF(3^{n})$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m$ jest dzielnikiem liczby $n$. Więc dla każdego $m,n$ można znaleźć skończone ciało $C$ zawierające $GF(3^{m})$ i $GF(3^{n})$, np ciało $GF(3^{mn})$. Z tego możemy wywnioskować, że suma wszystkich ciał $GF(3^{n})$ jest znowu ciałem, które oznaczamy $\mathbb {\overline {Z}} _{3}$.

Każdy wielomian ze współczynnikami w ciele $\mathbb {\overline {Z}} _{3}$ ma w rzeczywistości współczynniki w pewnym ciele skończonym $GF(3^{n})$, więc ma pierwiastek w pewnym skończonym rozszerzeniu ciała $GF(3^{n})$; to rozszerzenie musi być ciałem skończonym o charakterystyce 3, tzn. pewnym ciałem $GF(3^{n'})\subseteq \mathbb {\overline {Z}} _{3}$.

Więc ciało $\mathbb {\overline {Z}} _{3}$ (zbiór nieskończony, ale przeliczalny) jest algebraicznie domknięte.

Domknięcie algebraiczne ciała liczb wymiernych

Domknięcie algebraiczne $\mathbb {\overline {Q}}$ ciała liczb wymiernych $\mathbb {Q}$ nazywamy ciałem liczb algebraicznych. Jest ono (przeliczalnym) podciałem ciała liczb zespolonych; elementy ciała $\mathbb {\overline {Q}}$ nazywamy liczbami algebraicznymi; pozostałe liczby zespolone nazywamy liczbami przestępnymi. Georg Cantor udowodnił, że ciało $\mathbb {\overline {Q}}$ jest przeliczalne, a ciała $\mathbb {R}$ i $\mathbb {C}$ są nieprzeliczalne. Dowód Cantora, używający metod z zapoczątkowanej przez niego teorii monogości, był nową konstrukcją liczb przestępnych; Liouville w 1844 r. znalazł liczby przestępne używając metody z teorii liczb.

Nieprzywiedlność wielomianów

Ciało $F$ jest ciałem algebraicznie domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi nieprzywiedlnymi w nim wielomianami są wielomiany stopnia pierwszego.

Literatura

• J. Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.