Ciało algebraicznie domknięte

Ciało algebraicznie domknięte $F$ to takie ciało, w którym każdy wielomian stopnia co najmniej pierwszego jednej zmiennej ma pierwiastek w $F$.

Równoważnie można je zdefiniować jako ciało, które nie ma nietrywialnych rozszerzeń algebraicznych: z tego, że $K$ jest rozszerzeniem algebraicznym $F$, wynika, że $K=F$.

Każde ciało jest podciałem pewnego ciała algebraicznie domkniętego. Za przykład niech posłuży ciało liczb rzeczywistych. Ciało to nie jest algebraicznie domknięte: wielomian $w(x) = x^2 + 1$ nie ma pierwiastków w tym ciele.

Rozszerzenie ciała $F$, które jest algebraiczne i jest ciałem algebraicznie domkniętym, nazywamy domknięciem algebraicznym ciała $F$.

Na przykład domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych jest ciało liczb zespolonych (dla powyższego wielomianu pierwiastkami w ciele liczb zespolonych są $i$ oraz $-i$).

Ponieważ dla każdego ciała $F$ istnieje jego rozszerzenie $K$ będące ciałem algebraicznie domkniętym, a zbiór elementów algebraicznych nad $F$ należących do $K$ jest rozszerzeniem algebraicznym $F$ oraz ciałem algebraicznie domkniętym, dla każdego ciała istnieje jego algebraiczne domknięcie.

Twierdzenie mówiące o tym, że ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym nazywa się "zasadniczym twierdzeniem algebry" i pociąga za sobą istotne konsekwencje, jak chociażby fakt, że każdą macierz o współczynnikach zespolonych można sprowadzić do postaci Jordana.

Jedną z najważniejszych własności ciał algebraicznie domkniętych jest twierdzenie Hilberta o zerach:

Jeśli $F$ jest ciałem algebraicznie domkniętym, to dla każdych liczb naturalnych $n, m$ i dla dowolnych wielomianów $f_1 (X_1,X_2,\ldots,X_n),\ldots, f_m(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ o współczynnikach z ciała $F$ następujące warunki są równoważne:

• układ równań $f_1 (X_1,X_2,\ldots,X_n)=0,\ldots, f_m(X_1,X_2,\ldots,X_n)=0$ ma rozwiązanie w $F$;

• ideał $(f_1 (X_1,X_2,\ldots,X_n),\ldots, f_m(X_1,X_2,\ldots,X_n))$ jest ideałem właściwym pierścienia wielomianów $F[X_1,X_2,\ldots,X_n]$.

Innymi słowy, taki układ równań nie ma rozwiązań wtedy i tylko wtedy, gdy jest sprzeczny, tzn. gdy istnieją wielomiany $g_1 (X_1,X_2,\ldots,X_n),\ldots, g_m(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ o współczynnikach z ciała $F$ takie, że

$g_1\cdot f_1 + \cdots + g_m\cdot f_m = 1$.

Domknięcie algebraiczne ciała $\mathbb Z_p$

Nie istnieją ciała skończone, algebraicznie domknięte. Oznacza to, że istnieją ciała nieskończone o skończonej charakterystyce. Przykładem takiego ciała może być algebraiczne domknięcie ciała $GF(3) = \mathbb Z_3 = \{0,1,2\}$:

Dla każdego $k = 1,2,\ldots$ istnieje jedyne ciało $GF(3^k)$ o $3^k$ elementach. Na przykład, ciało $GF(3^2)$ można reprezentować jako $\mathbb Z_3(\sqrt 2) = \{0,1,2, \; \alpha,\, \alpha +1,\, \alpha + 2,\; 2\alpha,\, 2\alpha +1, \,2\alpha + 2\}$, gdzie $\alpha^2=2$.

Dla każdego $m, n\in \mathbb N\setminus \{0\}$, $GF(3^m) \subseteq GF(3^n)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m$ jest dzielnikiem liczby $n$. Więc dla każdego $m, n$ można znaleźć skończone ciało $C$ zawierające $GF(3^m)$ i $GF(3^n)$, np ciało $GF(3^{mn})$. Z tego możemy wywnioskować, że suma wszystkich ciał $GF(3^n)$ jest znowu ciałem, które oznaczamy $\mathbb{\overline Z}_3$.

Każdy wielomian z współczynnikami w ciele $\mathbb{\overline Z}_3$ ma w rzeczywistości współczynniki w pewnym ciele skończonym $GF(3^n)$, więc ma pierwiastek w pewnym skończonym rozszerzeniu ciała $GF(3^n)$; to rozszerzenie musi być ciałem skończonym o charakterystyce 3, tzn. pewnym ciałem $GF(3^{n'}) \subseteq \mathbb {\overline Z}_3$.

Więc ciało $\mathbb {\overline Z}_3$ (zbiór nieskończony ale przeliczalny) jest algebraicznie domknięte.

Domknięcie algebraiczne ciała liczb wymiernych

Domknięcie algebraiczne $\mathbb{\overline Q}$ ciała liczb wymiernych $\mathbb{Q}$ nazywamy ciałem liczb algebraicznych. Jest ono (przeliczalnym) podciałem ciała liczb zespolonych; elementy ciała $\mathbb{\overline Q}$ nazywamy liczbami algebraicznymi; pozostałe liczby zespolone nazywamy liczbami przestępnymi. Georg Cantor udowodnił, że ciało $\mathbb{\overline Q}$ jest przeliczalne, a ciała $\mathbb{R}$ i $\mathbb{C}$ są nieprzeliczalne. Dowód Cantora. używając metody z nowego przez jego stworzonej teorii monogości, był nową konstrukcją liczb przestępnych; Liouville w 1844 r. znalazł liczby przestępne używając metody z teorii liczb.

Literatura

• Jerzy Browkin, Teoria ciał, PWN 1978.