Liczba przestępna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczba przestępnaliczba rzeczywista lub ogólniej zespolona niebędąca liczbą algebraiczną. Uogólnieniem pojęcia liczby przestępnej jest element przestępny. Istnienie liczb przestępnych wykazał francuski matematyk Joseph Liouville w 1844 roku, podając konstruktywne dowody ich istnienia.

Liczba przestępna nie jest więc pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych, tzn.:

Każda liczba przestępna jest liczbą niewymierną, bo liczby wymierne są pierwiastkami pewnych wielomianów o współczynnikach wymiernych stopnia Z kolei istnieją liczby niewymierne, które nie są przestępne, np.

Niektóre własności algebraiczne[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli jest liczbą przestępną, są algebraiczne, to wartość wyrażenia jest przestępna.
W szczególności przestępne są: dla algebraicznego, dla algebraicznego, dla
Dowód
Gdyby był liczbą algebraiczną, to zachodzi
Różnica jest liczbą algebraiczną, stąd jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach algebraicznych. Ponieważ ciało liczb algebraicznych jest algebraicznie domknięte, więc byłby liczbą algebraiczną, wbrew założeniu.
  • Jeśli jest liczbą przestępną, to gdzie także jest przestępne.
Dowód
Wystarczy tu udowodnić, że są przestępne dla
Gdyby był liczbą algebraiczną, to byłby pierwiastkiem wielomianu stąd byłby pierwiastkiem wielomianu wbrew założeniu.
Gbyby był liczbą algebraiczną, to byłby liczbą algebraiczną, bo potęga liczby algebraicznej jest liczbą algebraiczną.
Uwaga
  • Suma liczb przestępnych nie musi być przestępna. Rzeczywiście, jeśli liczbą przestępną, przestępne są także gdzie jest liczbą algebraiczną. Ale jest liczbą algebraiczną
  • Iloczyn liczb przestępnych nie musi być przestępny. Rzeczywiście, jeśli liczbą przestępną, przestępne są także gdzie jest liczbą algebraiczną. Ale jest liczbą algebraiczną

Przykłady liczb przestępnych[edytuj | edytuj kod]

  • gdzie jest liczbą algebraiczną (Hermit-Lindemann)[1]
    • e (Charles Hermite, 1873),
    • (Ferdinand Lindemann, 1882) – przypuszczenie, że jest algebraiczne oznacza, że jest przestępne wbrew temu, że
    • dla algebraicznego – np. po przekształceniach Przypuszczenie, że jest algebraiczne oznaczałoby, że jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach algebraicznych wbrew temu, że jest przestępne.
    • dla algebraicznego – przypuszczenie, że jest algebraiczne oznacza, że jest przestępne wbrew temu, że jest algebraiczne,
  • gdzie jest liczbą algebraiczną, jest liczbą niewymierną algebraiczną (twierdzenie Gelfonda-Schneidera).
    • – ponieważ więc jest jedną z wartości
    • – ponieważ więc jest wymierną potęgą liczby przestępnej
  • liczby Liouville’a
    • gdzie jest dowolną liczbą naturalną większą od 1, liczby tej postaci są przykładami liczb Liouville’a.

Własności mnogościowe[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wszystkich liczb przestępnych jest zbiorem mocy continuum. Dowód: zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach wymiernych jest zbiorem przeliczalnym. Ponieważ każdy taki wielomian ma skończenie wiele pierwiastków, istnieje co najwyżej przeliczalnie wiele liczb algebraicznych. Ale zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ma moc continuum, zatem zbiór liczb przestępnych również musi mieć moc continuum.

Zbiór liczb przestępnych rzeczywistych jest gęsty w zbiorze liczb rzeczywistych, więcej: w każdym przedziale otwartym liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalnie wiele liczb przestępnych.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Serge Lang: Algebra. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1973, s. 525.