Równanie charakterystyczne

Równanie charakterystyczne – termin używany w teorii równań różniczkowych oraz w teorii sterowania.

Równanie charakterystyczne równania różniczkowego

Niech dane jest równanie różniczkowe liniowe rzędu $n$-tego o stałych współczynnikach $a_{n},a_{n-1},\dots ,a_{0}:$

$a_{n}x^{(n)}+a_{(n-1)}x^{(n-1)}+\ldots +a_{1}x^{(1)}+a_{0}x=0,$

w którym $x^{(i)}$ oznacza $i$-tą pochodną funkcji $x(t)$ po zmiennej $t;i=1,\dots ,n-1,n.$

Zgodnie z metodą podaną przez Eulera poszukuje się rozwiązania tego równania w postaci $e^{rt},$ gdzie $r$ jest pewną stałą. Podstawiając to rozwiązanie do danego równania różniczkowego otrzymuje się równanie

$a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots +a_{1}r+a_{0}=0,$

które nazywa się równaniem charakterystycznym równania różniczkowego. Rozwiązując równanie charakterystyczne otrzymuje się możliwe, różne rozwiązania szczególne dla odpowiedniego równania różniczkowego.

Przykład

Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynnikach

$x^{(5)}+x^{(4)}-4x^{(3)}-16x''-20x'-12x=0$

ma równanie charakterystyczne

$r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0$

Równanie to sprowadza się do postaci iloczynowej

$(r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0$

Równanie to ma pierwiastek rzeczywisty $r_{1}=3$ oraz pierwiastki zespolone $r_{2}=r_{3}=-1-i,$$r_{4}=r_{5}=-1-i$.

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego ma postać:

$x(t)=c_{1}e^{3t}+e^{-t}(c_{2}\cos t+c_{3}\sin t)+te^{-t}(c_{4}\cos t+c_{5}\sin t)$

gdzie $c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},c_{5}$ - stałe liczby, które zależą od warunków początkowych.

Równanie charakterystyczne w teorii sterowania

W teorii sterowania, gdzie rozważania prowadzi się na płaszczyźnie zespolonej S, równaniem charakterystycznym nazywa się równanie algebraiczne powstające z przyrównania mianownika transmitancji operatorowej do zera. Jeśli transmitancję układu określimy wzorem:

$G(s)={\frac {b_{n}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},$

to równanie charakterystyczneukładu, określonego tą transmitancją, będzie miało postać:

$s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}=0.$

Zobacz też

• Wielomian charakterystyczny układu (w teorii sterowania)