Siła przekrojowa – jedno z podstawowych pojęć[1] z zakresu wytrzymałości materiałów stosowane również w mechanice ośrodków ciągłych. W obu tych dyscyplinach chodzi o znajdowanie rzeczywistego rozkładu naprężeń w ciałach fizycznych poddanych określonym obciążeniom zewnętrznym. Ogólnie stosowana metoda badawcza polega na dokonywaniu wirtualnych przecięć analizowanego ośrodka i uzewnętrznianiu działania sił wewnętrznych. Na to aby przecięty ośrodek zachowywał się tak samo jak przed przecięciem, potrzeba i wystarcza spełnienie ogólnych warunków równowagi zapisanych dla dowolnej z dwu części powstałych w wyniku dokonanego przecięcia. Na skutek tego przecięcia powstają dwa, nieskończenie bliskie, przekroje poprzeczne
i
W każdym punkcie
przekroju
działa naprężenie
wielkość wektorowa o dwu składowych: normalnej
do powierzchni przekroju poprzecznego i stycznej
do tego przekroju. W punkcie
przekroju
odpowiadającym dokładnie punktowi
z przekroju
działa naprężenie przeciwnego znaku
Dzięki temu oba przekroje oddziaływają na siebie wzajemnie w sposób równoważny. Dlatego bywa, że nie rozróżnia się tych dwu przekrojów, utożsamiając je ze sobą.
Rozkład naprężeń
w przekroju poprzecznym ciała
lub
wywołany działaniem danego obciążenia, jest w ogólnym przypadku, zupełnie nieznany. Dlatego najczęściej z tym przekrojem wiąże się konkretny, kartezjański układ współrzędnych
(gdzie
– jest osią pręta, a
– jest płaszczyzną jego przekroju) i w tym układzie definiuje się tzw. siły przekrojowe[2]
- siłę podłużną –
– o dodatnim zwrocie zgodnym z normalną
zewnętrzną przekroju,
- siłę poprzeczną –
– działającą w kierunku zgodnym z osią ![{\displaystyle Oy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f34cfba88917472d8e23137b17ca1520d8641f)
- siłę poprzeczną –
– działającą w kierunku zgodnym z osią ![{\displaystyle Oz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5197b935a95b26d455ef13cb66977b30b1d11311)
- moment zginający –
– o zwrocie wektora zgodnym z osią ![{\displaystyle Oy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f34cfba88917472d8e23137b17ca1520d8641f)
- moment zginający –
– o zwrocie wektora zgodnym z osią ![{\displaystyle Oz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5197b935a95b26d455ef13cb66977b30b1d11311)
- moment skręcający –
![{\displaystyle M_{x}(x)=\int _{A}(\tau _{xz}y-\tau _{xy}z)dA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcae721924ead3f339bd577909176ce353f9ff1a)
– o zwrocie wektora zgodnym z osią ![{\displaystyle Ox,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea8b8503ba7639f5e3046faa89ddfd53e8d6912d)
gdzie:
są składowymi naprężenia stycznego
odpowiednio w kierunku osi ![{\displaystyle Oy,\;Oz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec2d0cf3dd9bed1e7c838f24bfe984b66ef00430)
Obliczenie wartości sił przekrojowych na podstawie powyższych wzorów byłoby oczywiście możliwe wtedy, gdyby były znane funkcje
W przypadku ogólnym są one jednak nieznane i można tylko próbować je odgadnąć, co udaje się tylko w najprostszych przypadkach[3]. I tak na przykład założenie, że
![{\displaystyle \sigma _{n}(y,z)=ay+bz+c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ef408d66ce8f0c9cce7067109e26f687c40e1fe)
prowadzi do rezultatów bardzo ważnych dla praktyki obliczeniowej.
Rozważmy pręt pryzmatyczny o stałym polu przekroju poprzecznego
rozciągany siłą osiową
stałą na całej długości pręta. Z warunku równowagi zapisanego dla części np.
otrzymamy, że
Przyjmując, że
otrzymujemy, że
Stąd
W rozważanym przypadku pozostałe siły przekrojowe mają wartości zerowe.
Gdy obciążenie pręta pryzmatycznego sprowadza się do działania dwu przeciwnie kręcących momentów skupionych
na przeciwległych jego końcach w płaszczyźnie
możemy zapisać warunek równowagi np. części
w postaci
![{\displaystyle -M+M_{y}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04409f2ddb6cea11603f91b91fa6ca291dc958f0)
Jeżeli przyjmiemy, że
to otrzymamy
![{\displaystyle \sigma _{n}(y,z)=bz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f17406042c695efd21900b48be06a2fe839f4c)
Stąd
![{\displaystyle M_{y}=\int _{A}\sigma _{n}zdA=\int _{A}bz^{2}dA=bJ_{y}\quad \to \quad b={\frac {M_{y}}{J_{y}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d73ae762b702a1566d2ebaf89648515d2fd66b7)
Analogicznie otrzymujemy dla przypadku zginania względem osi
tzn. w płaszczyźnie
![{\displaystyle M_{z}=\int _{A}\sigma _{n}ydA=\int _{A}ay^{2}dA=aJ_{z}\quad \to \quad a={\frac {M_{z}}{J_{z}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552c3938b75ab53e0cee35bef1f922fc7397f68b)
Dla przypadku, gdy
otrzymujemy podstawowy wzór ogólny dla pręta pryzmatycznego mimośrodowo rozciąganego/ściskanego
![{\displaystyle \sigma _{n}={\frac {P}{A}}-{\frac {M_{z}}{J_{z}}}y+{\frac {M_{y}}{J_{y}}}z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5424e3c8510c1f914a0f4841320d26797e53bfee)
w którym
reprezentują działające obciążenie, a
oznaczają odpowiednio pole przekroju poprzecznego i jego główne, centralne momenty bezwładności względem osi
Siły przekrojowe nie są od siebie niezależne. Rozważając element o długości
wycięty z pręta pryzmatycznego, możemy dla niego zapisać trzy warunki równowagi w płaszczyźnie
![{\displaystyle -N+ndx+N+dN=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19528cd432ade9a70bd4836143be2495ded3d48f)
![{\displaystyle Q_{z}-qdx-Q_{z}-dQ_{z}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e181b79efe1c543f56566ee1703d0ce4416be84)
![{\displaystyle M_{y}+Q_{z}dx+qdx\left({\frac {dx}{2}}\right)-M_{y}-dM_{y}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da3bd2eac9797025bdf8f350b835389f5d52bd2)
w których przez
oznaczono gęstości obciążeń zewnętrznych działających na pręt. Na podstawie tych równań otrzymujemy
Dla pręta pryzmatycznego, o przekroju symetrycznym względem osi
obciążonego w płaszczyźnie
można w prosty sposób wyznaczyć rozkład naprężeń stycznych
W tym celu trzeba wyodrębnić z tego pręta fragment o długości
a następnie odciąć górną część fragmentu płaszczyzną równoległą do
na wysokości
Warunek równowagi sił działających na fragment w kierunku osi
(po wykorzystaniu związku
) przybiera postać
![{\displaystyle -\;\tau _{xz}b(z)dx+\int _{\bar {A}}d\sigma _{n}{\bar {A}}=0\quad \to }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181da8278433a79c7b51199e2b054eb5fa004156)
![{\displaystyle {}\qquad \to \quad \ \tau _{xz}b(z)={\frac {dM_{y}}{dxJ_{y}}}\int _{\bar {A}}zd{\bar {A}}\quad \to }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3554d77f1b467901bddccc987958214307fdf711)
gdzie:
– naprężenie styczne w poziomie
działające w płaszczyźnie ![{\displaystyle Oxz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d321321916631ef1bc0aa7eaea6dc20f07d81139)
– pole górnej części przekroju odciętej płaszczyzną o równaniu ![{\displaystyle z=\mathrm {const} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d4a2c9d60098483f41666215620cd5bf7a0572f)
– moment statyczny części przekroju (j.w.) liczony względem osi ![{\displaystyle Oy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f34cfba88917472d8e23137b17ca1520d8641f)
– szerokość przekroju mierzona na wysokości ![{\displaystyle z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7f273b229260c8fe9aa42378b0471336394cc2)
Na podstawie tego wzoru otrzymuje się dla przypadku przekroju prostokątnego o wymiarach
![{\displaystyle \to \quad \tau _{xz}={\frac {6Q_{z}}{A}}\left[{\frac {1}{4}}-\left({\frac {z}{h}}\right)^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b6e02b2c857dd811f6d103862c47cbc21b7b4a4)
Jak wynika ze wzoru, rozkład naprężeń stycznych jest silnie nieliniowy o maksymalnej wartości
na osi obojętnej przekroju poprzecznego.
- ↑ Olszowski B., Radwańska M., Mechanika budowli, Politechnika Krakowska Kraków 2010, s. 21.
- ↑ Bielajew N.M., Wytrzymałość materiałów, Wyd. MON, Warszawa 1954.
- ↑ Piechnik S., Wytrzymałość materiałów, PWN, Warszawa-Kraków 1980.