Siły przekrojowe

Siła przekrojowa – jedno z podstawowych pojęć z zakresu wytrzymałości materiałów stosowane również w mechanice ośrodków ciągłych. W obu tych dyscyplinach chodzi o znajdowanie rzeczywistego rozkładu naprężeń w ciałach fizycznych poddanych określonym obciążeniom zewnętrznym. Ogólnie stosowana metoda badawcza polega na dokonywaniu wirtualnych przecięć analizowanego ośrodka i uzewnętrznianiu działania sił wewnętrznych. Na to aby przecięty ośrodek zachowywał się tak samo jak przed przecięciem, potrzeba i wystarcza spełnienie ogólnych warunków równowagi zapisanych dla dowolnej z dwu części powstałych w wyniku dokonanego przecięcia. Na skutek tego przecięcia powstają dwa, nieskończenie bliskie, przekroje poprzeczne $I$ i $II.$ W każdym punkcie $A$ przekroju $I$ działa naprężenie ${\vec {\sigma }},$ wielkość wektorowa o dwu składowych: normalnej ${\vec {\sigma }}_{n}$ do powierzchni przekroju poprzecznego i stycznej ${\vec {\tau }}$ do tego przekroju. W punkcie $A^{'}$ przekroju $II,$ odpowiadającym dokładnie punktowi $A$ z przekroju $I,$ działa naprężenie przeciwnego znaku $-{\vec {\sigma }}.$ Dzięki temu oba przekroje oddziaływają na siebie wzajemnie w sposób równoważny. Dlatego bywa, że nie rozróżnia się tych dwu przekrojów, utożsamiając je ze sobą.

Rozkład naprężeń ${\vec {\sigma }}$ w przekroju poprzecznym ciała $(I$ lub $II),$ wywołany działaniem danego obciążenia, jest w ogólnym przypadku, zupełnie nieznany. Dlatego najczęściej z tym przekrojem wiąże się konkretny, kartezjański układ współrzędnych $Oxyz$ (gdzie $Ox$ – jest osią pręta, a $Oyz$ – jest płaszczyzną jego przekroju) i w tym układzie definiuje się tzw. siły przekrojowe

• siłę podłużną – $N(x)=\int _{A}\sigma _{n}dA$ – o dodatnim zwrocie zgodnym z normalną ${\vec {n}}$ zewnętrzną przekroju,
• siłę poprzeczną – $Q_{y}(x)=\int _{A}\tau _{xy}dA$ – działającą w kierunku zgodnym z osią $Oy,$
• siłę poprzeczną – $Q_{z}(x)=\int _{A}\tau _{xz}dA$ – działającą w kierunku zgodnym z osią $Oz,$
• moment zginający – $M_{y}(x)=\int _{A}\sigma _{n}zdA$ – o zwrocie wektora zgodnym z osią $Oy,$
• moment zginający – $M_{z}(x)=\int _{A}\sigma _{n}ydA$ – o zwrocie wektora zgodnym z osią $Oz,$
• moment skręcający – $M_{x}(x)=\int _{A}(\tau _{xz}y-\tau _{xy}z)dA$
  – o zwrocie wektora zgodnym z osią $Ox,$

gdzie:

$\tau _{xy},\;\tau _{xz}$ są składowymi naprężenia stycznego ${\vec {\tau }}$ odpowiednio w kierunku osi $Oy,\;Oz.$

Obliczenie wartości sił przekrojowych na podstawie powyższych wzorów byłoby oczywiście możliwe wtedy, gdyby były znane funkcje $\sigma _{n}(y,z),\;\tau _{xy}(y,z),\;\tau _{xz}(y,z).$ W przypadku ogólnym są one jednak nieznane i można tylko próbować je odgadnąć, co udaje się tylko w najprostszych przypadkach. I tak na przykład założenie, że

$\sigma _{n}(y,z)=ay+bz+c$

prowadzi do rezultatów bardzo ważnych dla praktyki obliczeniowej.

Rozważmy pręt pryzmatyczny o stałym polu przekroju poprzecznego $A$ rozciągany siłą osiową $P,$ stałą na całej długości pręta. Z warunku równowagi zapisanego dla części np. $I$ otrzymamy, że $-P+N=0.$ Przyjmując, że $a=b=0$ otrzymujemy, że $P=\int _{A}\sigma _{n}dA=\int _{A}cdA=cA.$ Stąd $c={\frac {P}{A}}.$

W rozważanym przypadku pozostałe siły przekrojowe mają wartości zerowe.

Gdy obciążenie pręta pryzmatycznego sprowadza się do działania dwu przeciwnie kręcących momentów skupionych $M$ na przeciwległych jego końcach w płaszczyźnie $Oxz,$ możemy zapisać warunek równowagi np. części $I$ w postaci

$-M+M_{y}=0.$

Jeżeli przyjmiemy, że $a=c=0,$ to otrzymamy

$\sigma _{n}(y,z)=bz.$

Stąd

$M_{y}=\int _{A}\sigma _{n}zdA=\int _{A}bz^{2}dA=bJ_{y}\quad \to \quad b={\frac {M_{y}}{J_{y}}}.$

Analogicznie otrzymujemy dla przypadku zginania względem osi $Oz$ tzn. w płaszczyźnie $Oxy\colon b=c=0,$

$M_{z}=\int _{A}\sigma _{n}ydA=\int _{A}ay^{2}dA=aJ_{z}\quad \to \quad a={\frac {M_{z}}{J_{z}}}.$

Dla przypadku, gdy $a\neq b\neq c\neq 0$ otrzymujemy podstawowy wzór ogólny dla pręta pryzmatycznego mimośrodowo rozciąganego/ściskanego

$\sigma _{n}={\frac {P}{A}}-{\frac {M_{z}}{J_{z}}}y+{\frac {M_{y}}{J_{y}}}z,$

w którym $P,\;M_{y},\;M_{z}$ reprezentują działające obciążenie, a $A,\;J_{y},\;J_{z},$ oznaczają odpowiednio pole przekroju poprzecznego i jego główne, centralne momenty bezwładności względem osi $Oy,\ Oz.$

Siły przekrojowe nie są od siebie niezależne. Rozważając element o długości $dx,$ wycięty z pręta pryzmatycznego, możemy dla niego zapisać trzy warunki równowagi w płaszczyźnie $Oxz$

• $-N+ndx+N+dN=0,$
• $Q_{z}-qdx-Q_{z}-dQ_{z}=0,$
• $M_{y}+Q_{z}dx+qdx\left({\frac {dx}{2}}\right)-M_{y}-dM_{y}=0,$

w których przez $n,\;q$ oznaczono gęstości obciążeń zewnętrznych działających na pręt. Na podstawie tych równań otrzymujemy $n=-{\frac {dN}{dx}},\quad q=-{\frac {dQ_{z}}{dx}},\quad Q_{z}={\frac {dM_{y}}{dx}}\quad \to \quad {\frac {d^{2}M_{y}}{dx^{2}}}=q.$

Dla pręta pryzmatycznego, o przekroju symetrycznym względem osi $Oz,$ obciążonego w płaszczyźnie $Oxz$ można w prosty sposób wyznaczyć rozkład naprężeń stycznych $\tau _{xz}.$ W tym celu trzeba wyodrębnić z tego pręta fragment o długości $dx,$ a następnie odciąć górną część fragmentu płaszczyzną równoległą do $Oxy$ na wysokości $z.$ Warunek równowagi sił działających na fragment w kierunku osi $Ox$ (po wykorzystaniu związku $\sigma _{n}={\frac {M_{y}}{J_{y}}}z$) przybiera postać

$-\;\tau _{xz}b(z)dx+\int _{\bar {A}}d\sigma _{n}{\bar {A}}=0\quad \to$

${}\qquad \to \quad \ \tau _{xz}b(z)={\frac {dM_{y}}{dxJ_{y}}}\int _{\bar {A}}zd{\bar {A}}\quad \to$

${}\qquad \qquad \qquad \to \quad \tau _{xz}={\frac {Q_{z}(x){\bar {S}}_{y}(z)}{J_{y}b(z)}},$

gdzie:

• $\tau _{xz}$ – naprężenie styczne w poziomie $z,$ działające w płaszczyźnie $Oxz,$
• ${\bar {A}}$ – pole górnej części przekroju odciętej płaszczyzną o równaniu $z=\mathrm {const} ,$
• ${\bar {S}}_{y}(z)=\int _{\bar {A}}zd{\bar {A}}$ – moment statyczny części przekroju (j.w.) liczony względem osi $Oy,$
• $b(z)$ – szerokość przekroju mierzona na wysokości $z.$

Na podstawie tego wzoru otrzymuje się dla przypadku przekroju prostokątnego o wymiarach $b\times h$

${\bar {S}}(z)=b\left({\frac {h}{2}}-z\right){\frac {1}{2}}\left({\frac {h}{2}}+z\right),\quad J_{y}={\frac {1}{12}}bh^{3}\quad \to$

$\to \quad \tau _{xz}={\frac {6Q_{z}}{A}}\left[{\frac {1}{4}}-\left({\frac {z}{h}}\right)^{2}\right].$

Jak wynika ze wzoru, rozkład naprężeń stycznych jest silnie nieliniowy o maksymalnej wartości $\tau _{max}=1{,}5\ {\tfrac {Q}{A}}=1{,}5\ \tau _{sr}$ na osi obojętnej przekroju poprzecznego.

Linki zewnętrzne

• Siły przekrojowe