Gra w chaos: Różnice pomiędzy wersjami
| [wersja nieprzejrzana] | [wersja nieprzejrzana] |
→Przykład: poprawka |
drobne redakcyjne |
||
| Linia 1: | Linia 1: | ||
| ⚫ | |||
| ⚫ | |||
'''Gra w chaos''' to [[algorytm]] komputerowego generowania obrazów pewnych [[fraktal]]i. Generuje on przybliżony obraz [[atraktor]]a lub [[Punkt stały|punktu stałego]] dowolnego [[IFS (geometria fraktalna)|systemu funkcji iterowanych]]. |
|||
'''Gra w chaos''' – algorytm tworzenia przybliżonego obrazu [[trójkąt Sierpińskiego|trójkąta Sierpińskiego]]. |
|||
== Algorytm == |
== Algorytm == |
||
| ⚫ | Zaczynając od pewnego punktu x<sub>0</sub> kolejne iteracje są dane przy pomocy wzoru x<sub>n+1</sub> = f<sup>m</sup>(x<sub>n</sub>), gdzie f<sup>m</sup>(x) jest jedną z funkcji iterowanych, wybieraną niezalężnie i losowo dla każdej iteracji. Iteracje zbiegają do punktu stałego systemu funkcji iterowanych. Jeżeli wartość początkowa x<sub>0</sub> należy do atraktora systemu funkcji iterowanych, wówczas wszystkie punkty x<sub>n</sub> również należą do tego atraktora i z [[prawdopodobieństwo|prawdopodobieństwem]] 1 tworzą w nim [[zbiór gęsty]]. |
||
==Przykład dla trójkąta Sierpińskiego== |
|||
| ⚫ | |||
Na początku stawia się na [[płaszczyzna|płaszczyźnie]] 3 dowolne punkty (powinny być niewspółliniowe, gdyż inaczej fraktal zdegeneruje się do odcinka), po czym wybiera sobie kolejny punkt płaszczyzny, zwany punktem gry (''game point''). Następnie wybiera się dowolny z trzech punktów obranych na samym początku (można je oznaczyć 1, 2 i 3, po czym korzystając z [[generator liczb losowych|generatora liczb losowych]] wybierać je) i stawia punkt w połowie odległości między czwartym punktem, a tym wybranym. Powtarza się ten krok, za każdym razem oznaczając punkt leżący dokładnie w połowie odległości między ostatnio postawionym, a jednym z trzech pierwszych. |
Na początku stawia się na [[płaszczyzna|płaszczyźnie]] 3 dowolne punkty (powinny być niewspółliniowe, gdyż inaczej fraktal zdegeneruje się do odcinka), po czym wybiera sobie kolejny punkt płaszczyzny, zwany punktem gry (''game point''). Następnie wybiera się dowolny z trzech punktów obranych na samym początku (można je oznaczyć 1, 2 i 3, po czym korzystając z [[generator liczb losowych|generatora liczb losowych]] wybierać je) i stawia punkt w połowie odległości między czwartym punktem, a tym wybranym. Powtarza się ten krok, za każdym razem oznaczając punkt leżący dokładnie w połowie odległości między ostatnio postawionym, a jednym z trzech pierwszych. |
||
Efektem algorytmu – zakładając, że punkty były losowane z mniej więcej takim samym prawdopodobieństwem – jest pewien wariant trójkąta Sierpińskiego. Jego wierzchołkami są trzy punkty wybrane na samym początku gry. |
Efektem algorytmu – zakładając, że punkty były losowane z mniej więcej takim samym prawdopodobieństwem – jest pewien wariant [[trójkąt Sierpińskiego|trójkąta Sierpińskiego]]. Jego wierzchołkami są trzy punkty wybrane na samym początku gry. |
||
| ⚫ | |||
| ⚫ | |||
== Przykład == |
|||
===Implementacja=== |
|||
Poniższy przykład (w języku [[Python]]) generuje trójkąt Sierpińskiego przy użyciu gry w chaos, korzystając z biblioteki [[pygame]]. |
Poniższy przykład (w języku [[Python]]) generuje trójkąt Sierpińskiego przy użyciu gry w chaos, korzystając z biblioteki [[pygame]]. |
||
Wersja z 23:07, 3 lut 2008
Gra w chaos to algorytm komputerowego generowania obrazów pewnych fraktali. Generuje on przybliżony obraz atraktora lub punktu stałego dowolnego systemu funkcji iterowanych.
Algorytm
Zaczynając od pewnego punktu x0 kolejne iteracje są dane przy pomocy wzoru xn+1 = fm(xn), gdzie fm(x) jest jedną z funkcji iterowanych, wybieraną niezalężnie i losowo dla każdej iteracji. Iteracje zbiegają do punktu stałego systemu funkcji iterowanych. Jeżeli wartość początkowa x0 należy do atraktora systemu funkcji iterowanych, wówczas wszystkie punkty xn również należą do tego atraktora i z prawdopodobieństwem 1 tworzą w nim zbiór gęsty.
Przykład dla trójkąta Sierpińskiego
Na początku stawia się na płaszczyźnie 3 dowolne punkty (powinny być niewspółliniowe, gdyż inaczej fraktal zdegeneruje się do odcinka), po czym wybiera sobie kolejny punkt płaszczyzny, zwany punktem gry (game point). Następnie wybiera się dowolny z trzech punktów obranych na samym początku (można je oznaczyć 1, 2 i 3, po czym korzystając z generatora liczb losowych wybierać je) i stawia punkt w połowie odległości między czwartym punktem, a tym wybranym. Powtarza się ten krok, za każdym razem oznaczając punkt leżący dokładnie w połowie odległości między ostatnio postawionym, a jednym z trzech pierwszych.
Efektem algorytmu – zakładając, że punkty były losowane z mniej więcej takim samym prawdopodobieństwem – jest pewien wariant trójkąta Sierpińskiego. Jego wierzchołkami są trzy punkty wybrane na samym początku gry.
Implementacja
Poniższy przykład (w języku Python) generuje trójkąt Sierpińskiego przy użyciu gry w chaos, korzystając z biblioteki pygame.
from random import *
sqr = lambda a:a*a
import pygame
scr = pygame.display.set_mode([501, 501])
cnt = 3
pts = (\
complex(0, 500),
complex(500, 500),
complex(250, 0),
)
colors = (\
(255, 0, 0),
(0, 255, 0),
(0, 0, 255)
)
ind = randint(0, cnt - 1)
pt = pts[ind]
color = colors[ind]
div = 2
for i in range(100000):
pygame.draw.rect(scr, color, [pt.real, pt.imag, 2, 2])
newind = randint(0, cnt - 1)
pt = (pt + pts[newind]) / div
color = colors[newind]
pygame.display.flip()
while True:
key = pygame.event.poll()
if key.type == pygame.KEYDOWN and key.key == pygame.K_ESCAPE:
pygame.quit()
break
pygame.time.delay(100)