IFS (geometria fraktalna)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Paproć Barnsleya wygenerowana za pomocą systemu IFS

IFS (z ang. iterated function system, zwany też systemem funkcji iterowanych, systemem iterowanych kontrakcji albo przekształceń zwężających) – rodzina funkcji za pomocą których konstruuje się fraktale samopodobne. W matematyce terminu tego używa się także na określenie samej metody konstrukcji (przedstawionej poniżej). Opis w obecnej postaci został podany przez Hutchinsona (1981). IFS znajduje zastosowanie w zagadnieniach kompresji danych, zwłaszcza graficznych (grafika fraktalna).

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy dla pewnego ustalonego , m>2, mamy rodzinę funkcji Fi, i=1,2,..m, określoną na pewnym podzbiorze . Załóżmy ponadto że każda funkcja jest kontrakcją o skali ri<1, tzn.

Istnieje wówczas dokładnie jeden niepusty zbiór zwarty K taki, że

.

Zbiór ten nazywamy atraktorem danego IFS, często - choć nie zawsze - jest to interesujący fraktal. Powyższe zaś twierdzenie dostarczające metody konstrukcji fraktali określa się ogólnie jako IFS. W żargonie IFS oznacza często także samą rodzinę funkcji Fi.

Metoda iteracji[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli zdefiniujemy teraz przekształcenie F, które dany zbiór A zmienia w sumę obrazów przez , tzn.

to wówczas kolejne obrazy F(A), F(F(A)), F(F(F(A))... będą coraz bardziej przypominać atraktor, niezależnie od tego od jakiego zbioru początkowego A zaczniemy. Dokładniej,

w metryce Hausdorffa. Metryka ta jest zdefiniowana następująco. Dla dwu zbiorów A i B określamy

,

gdzie oznaczają -otoczki zbiorów (otoczki "grubości" ).

Własność ta jest podstawą wizualizacji fraktali otrzymywanych przez IFS.

Warunek zbioru otwartego i wymiar Hausdorffa[edytuj | edytuj kod]

Mówimy, że IFS spełnia warunek zbioru otwartego jeżeli istnieje (niepusty) otwarty zbiór U taki, że

Jeżeli IFS spełnia warunek zbioru otwartego to wymiar Hausdorffa atraktora jest jedynym rozwiązaniem równania (z niewiadomą s)

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  • Barnsley, Michael F., and Hawley Rising. Fractals Everywhere. Boston: Academic Press Professional, 1993. ​ISBN 0-12-079061-0

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]