Niezależność zdarzeń - zdarzenia[1] na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej nazywane są zdarzeniami niezależnymi, gdy
- .
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli , to mówimy, że są one niezależne, gdy dla każdego ściśle rosnącego ciągu o wyrazach ze zbioru spełniony jest warunek
- .
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia są niezależne.
Własności
- Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
- Gdy zdarzenia są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne też są niezależne oraz:
- .
Por. prawa de Morgana.
Niezależność σ-ciał
σ-ciała , gdzie dla nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych
- .
Jeżeli , to przez rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie , tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór . Dokładniej, dla
- .
Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy
σ-ciała są niezależne.
Zobacz też
- ↑ Elementy σ-ciała nazywamy zdarzeniami.
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43-47.