Zdarzenia losowe niezależne: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
m kat. |
m Przypis stwierdzający prawdę, ale w miejscu kompletnie bezsensownym. Czytelnik może dotrzeć do tej "prawdy" klikając np. na przestrzeń probabilistyczna |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
'''Niezależność zdarzeń''' - [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzenia]] |
'''Niezależność zdarzeń''' - [[Zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzenia]] <math>A, B</math> na pewnej ustalonej [[przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] <math>(\Omega, \mathcal{A}, P)</math> nazywane są zdarzeniami '''niezależnymi''', gdy |
||
: <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)</math>. |
: <math>P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)</math>. |
||
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli <math>A_1, \ldots, A_m\in \mathcal{A}</math>, to mówimy, że są one '''niezależne''', gdy dla każdego ściśle rosnącego ciągu <math>(i_1, \ldots, i_k)</math> o wyrazach ze zbioru <math>\{1,\ldots, m\}</math> spełniony jest warunek |
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli <math>A_1, \ldots, A_m\in \mathcal{A}</math>, to mówimy, że są one '''niezależne''', gdy dla każdego ściśle rosnącego ciągu <math>(i_1, \ldots, i_k)</math> o wyrazach ze zbioru <math>\{1,\ldots, m\}</math> spełniony jest warunek |
||
Linia 27: | Linia 27: | ||
* [[zależność zmiennych losowych]] |
* [[zależność zmiennych losowych]] |
||
{{przypisy}} |
|||
== Bibliografia == |
== Bibliografia == |
Wersja z 21:24, 11 lis 2009
Niezależność zdarzeń - zdarzenia na pewnej ustalonej przestrzeni probabilistycznej nazywane są zdarzeniami niezależnymi, gdy
- .
Niezależność można definiować także, dla większej liczby zdarzeń. I tak, jeżeli , to mówimy, że są one niezależne, gdy dla każdego ściśle rosnącego ciągu o wyrazach ze zbioru spełniony jest warunek
- .
Definicję niezależności można rozszerzyć na nieskończony układ zdarzeń. Dokładniej, mówimy, że zdarzenia są niezależne, gdy dla każdej liczby naturalnej n zdarzenia są niezależne.
Własności
- Z definicji wynika, że dwa zdarzenia rozłączne są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedno z nich ma prawdopodobieństwo zerowe.
- Gdy zdarzenia są niezależne, to zdarzenia do nich przeciwne też są niezależne oraz:
- .
Por. prawa de Morgana.
Niezależność σ-ciał
σ-ciała , gdzie dla nazywamy niezależnymi, gdy dla dowolnych
- .
Jeżeli , to przez rozumiemy σ-ciało generowane przez zdarzenie , tzn. najmniejsze σ-ciało zawierające zbiór . Dokładniej, dla
- .
Używając tych definicji, niezależność skończonej liczby zdarzeń można scharakteryzować w następujący sposób: zdarzenia są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy σ-ciała są niezależne.
Zobacz też
Bibliografia
- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004, s. 43-47.