Dyskretyzacja (matematyka)

W matematyce dyskretyzacja dotyczy procesu transformowania modeli i równań funkcji ciągłych na ich dyskretne odpowiedniki. Jest to zwykle pierwszy krok w procesie przygotowywania tych modeli (i równań) do ewaluacji numerycznej i implementacji na komputerach cyfrowych. Do przetwarzania na komputerze cyfrowym ponadto potrzebne jest wykonanie kwantyzacji.

Szczególnie istotne są tu dwie metody dyskretyzacji:

• dyskretyzacja Eulera
• dyskretyzacja ekstrapolatorem rzędu zerowego (ang. ZOH, Zero-order hold).

Dyskretyzacja związana jest także z matematyką dyskretną i jest ważną częścią (komputerowych) obliczeń ziarnistych (ang. granular computing) stosowanych w mechanice komputerowej. W tym kontekście dyskretyzacja odnosi się także do modyfikacji zmiennej w kategorii ziarnistości gdy agreguje się wiele zmiennych dyskretnych lub łączy się wiele kategorii dyskretnych.

Dyskretyzacja modelu układu liniowego w przestrzeni stanów

Dyskretyzacja stosowana jest też przy transformacji ciągłych równań różniczkowych do dyskretnych równań różnicowych, odpowiednich dla analizy numerycznej.

Następujący model zmiennych stanu czasu ciągłego

${\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)$

$\mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)$

gdzie $v\,$ i $w\,$ to żródła ciągłego szumu białego o zerowej średniej z kowariancjami

$\mathbf {w} (t)\sim N(0,\mathbf {Q} )$

$\mathbf {v} (t)\sim N(0,\mathbf {R} )$

można zdyskretyzować, przyjmując ekstrapolator rzędu zerowego dla wejścia $u\,$ i ciągłe całkowanie dla szumu $v\,$, do postaci:

$\mathbf {x} [k+1]=\mathbf {A} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {B} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {w} [k]$

$\mathbf {y} [k]=\mathbf {C} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {D} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {v} [k]$

z kowariancjami

$\mathbf {w} [k]\sim N(0,\mathbf {Q} _{d})$

$\mathbf {v} [k]\sim N(0,\mathbf {R} _{d})$

gdzie:

$\mathbf {A} _{d}=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}\{(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\}_{t=T}$

$\mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B}$, jeśli $\mathbf {A}$ jest nieosobliwa

$\mathbf {C} _{d}=\mathbf {C}$

$\mathbf {D} _{d}=\mathbf {D}$

$\mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{T}\tau }d\tau$

$\mathbf {R} _{d}=\mathbf {R}$

a $T\,$ jest czasem próbkowania.

Zręczne wyliczenie $Ad\,$ i $Bd\,$ w jednym kroku można wykonać korzystając z następującej własności:

$\mathbf {e} ^{\mathbf {\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}} T}={\begin{bmatrix}\mathbf {M_{11}} &\mathbf {M_{12}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}$

i wówczas mając:

$\mathbf {A} _{d}=M_{11}$

$\mathbf {B} _{d}=M_{12}$

Dyskretyzacja szumu procesu

Numeryczna ewaluacja $\mathbf {Q} _{d}$ jest nieco bardziej złożona z uwagi na całkę eksponenty macierzy. Można ją, jednakże, wyliczyć poprzez skonstruowanie najpierw macierzy a następnie wyliczenie na komputerze jej eksponenty:

$\mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{T}\end{bmatrix}}T$

$\mathbf {G} =e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{T}\end{bmatrix}}.$

Zdyskretyzowany szum procesu jest wówczas wyliczany poprzez przemnożenie transponowanej dolnej, prawej partycji macierzy G z górną, prawą partycją macierzy G:

$\mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{T})^{T}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).$