Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Eksponenta macierzy – funkcja macierzowa zdefiniowana dla macierzy kwadratowych analogicznie jak klasyczna funkcja wykładnicza . Eksponentą macierzy rzeczywistej lub zespolonej
X
{\displaystyle X}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n
×
n
,
{\displaystyle n\times n,}
e
X
{\displaystyle e^{X}}
exp
(
X
)
,
{\displaystyle \exp(X),}
szereg potęgowy :
e
X
=
∑
k
=
0
∞
1
k
!
X
k
,
{\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,X^{k},}
przy czym przyjmuje się:
X
0
=
I
,
{\displaystyle X^{0}=I,}
w szczególności
0
0
=
I
,
{\displaystyle 0^{0}=I,}
gdzie
I
{\displaystyle I}
n
×
n
,
{\displaystyle n\times n,}
0
{\displaystyle 0}
n
×
n
.
{\displaystyle n\times n.}
Oznaczenia:
X
,
{\displaystyle X,}
Y
{\displaystyle Y}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
a
,
{\displaystyle a,}
b
{\displaystyle b}
Twierdzenia:
(1)
e
0
=
I
{\displaystyle e^{0}=I}
(2)
e
X
T
=
(
e
X
)
T
{\displaystyle e^{X^{T}}=(e^{X})^{T}}
gdzie
X
T
{\displaystyle X^{T}}
macierz transponowana macierzy
X
{\displaystyle X}
(3)
e
X
†
=
(
e
X
)
†
{\displaystyle e^{X^{\dagger }}=(e^{X})^{\dagger }}
gdzie
X
†
{\displaystyle X^{\dagger }}
hermitowsko sprzężona do macierzy
X
{\displaystyle X}
(4) Jeżeli macierz
Y
{\displaystyle Y}
e
Y
X
Y
−
1
=
Y
e
X
Y
−
1
{\displaystyle e^{YXY^{-1}}=Ye^{X}Y^{-1}}
(5) Jeżeli macierze
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
mnożenie jest przemienne,
X
Y
=
Y
X
{\displaystyle XY=YX}
e
X
e
Y
=
e
X
+
Y
{\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}}
Z tw. (5) wynika, że:
(6)
e
X
e
−
X
=
e
0
=
I
{\displaystyle e^{X}e^{-X}=e^{0}=I}
(7)
e
a
X
e
b
X
=
e
(
a
+
b
)
X
{\displaystyle e^{aX}e^{bX}=e^{(a+b)X}}
(8) Jeżeli
X
{\displaystyle X}
macierzą symetryczną , to
e
X
{\displaystyle e^{X}}
(9) Jeżeli
X
{\displaystyle X}
macierzą antysymetryczną , to
e
X
{\displaystyle e^{X}}
macierzą ortogonalną .(10) Jeżeli
X
{\displaystyle X}
macierzą hermitowską , to
e
X
{\displaystyle e^{X}}
(11) Jeżeli
X
{\displaystyle X}
macierzą antyhermitowską , to
e
X
{\displaystyle e^{X}}
macierzą unitarną .Obliczanie eksponenty macierzy [ edytuj | edytuj kod ] Jeżeli macierz jest diagonalna
A
=
[
a
1
0
…
0
0
a
2
…
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
…
a
n
]
,
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1}&0&\ldots &0\\0&a_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &a_{n}\end{bmatrix}},}
to
e
A
=
[
e
a
1
0
…
0
0
e
a
2
…
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
…
e
a
n
]
.
{\displaystyle e^{A}={\begin{bmatrix}e^{a_{1}}&0&\ldots &0\\0&e^{a_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &e^{a_{n}}\end{bmatrix}}.}
Jeżeli macierz można zdiagonalizować do postaci
A
=
U
D
U
−
1
,
{\displaystyle A=UDU^{-1},}
gdzie
D
{\displaystyle D}
macierz diagonalna , to z tw. (4) wynika, że
e
A
=
U
e
D
U
−
1
.
{\displaystyle e^{A}=Ue^{D}U^{-1}.}
