Eksponenta macierzy

Eksponenta macierzy – funkcja macierzowa zdefiniowana dla macierzy kwadratowych analogicznie jak klasyczna funkcja wykładnicza. Eksponentą macierzy rzeczywistej lub zespolonej $X$ wymiaru $n\times n$ jest macierz wymiaru $n\times n,$ oznaczana jako $e^{X}$ albo $\exp(X),$ zadana przez szereg potęgowy:

$e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,X^{k},$

przy czym przyjmuje się:

• $X^{0}=I,$
• w szczególności $0^{0}=I,$

gdzie:

• $I$ – macierz jednostkowa $n\times n,$
• $0$ – macierz zerowa $n\times n.$

Twierdzenia I

Oznaczenia:

• $X,$ $Y$ – dowolne macierze zespolone $n\times n$
• $a,$ $b$ – dowolne liczby zespolone

Twierdzenia:

(1) $e^{0}=I$

(2) $e^{X^{T}}=(e^{X})^{T}$

gdzie $X^{T}$ – macierz transponowana macierzy $X$

(3) $e^{X^{\dagger }}=(e^{X})^{\dagger }$

gdzie $X^{\dagger }$ – macierz hermitowsko sprzężona do macierzy $X$

(4) Jeżeli macierz $Y$ jest odwracalna, to $e^{YXY^{-1}}=Ye^{X}Y^{-1}$

(5) Jeżeli macierze $X$ i $Y$ komutują (tzn. ich mnożenie jest przemienne, $XY=YX$), to

$e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}$

Z tw. (5) wynika, że

(6) $e^{X}e^{-X}=e^{0}=I$

(7) $e^{aX}e^{bX}=e^{(a+b)X}$

Twierdzenia II

(8) Jeżeli $X$ jest macierzą symetryczną, to $e^{X}$ jest macierzą symetryczną.

(9) Jeżeli $X$ jest macierzą antysymetryczną, to $e^{X}$ jest macierzą ortogonalną.

(10) Jeżeli $X$ jest macierzą hermitowską, to $e^{X}$ jest macierzą hermitowską.

(11) Jeżeli $X$ jest macierzą antyhermitowską, to $e^{X}$ jest macierzą unitarną.

Obliczanie eksponenty macierzy

Macierz diagonalna

Jeżeli macierz jest diagonalna

$D={\begin{bmatrix}d_{1}&0&\ldots &0\\0&d_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &d_{n}\end{bmatrix}},$

to

$e^{D}={\begin{bmatrix}e^{d_{1}}&0&\ldots &0\\0&e^{d_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &e^{d_{n}}\end{bmatrix}}.$

Macierz diagonalizowalna

Jeżeli macierz $X$ można przedstawić w postaci

$X=YDY^{-1},$

gdzie $D$ – macierz diagonalna, to z tw. (4) wynika, że

$e^{X}=Ye^{D}Y^{-1}.$

Tw. Liego o eksponencie sumy macierzy

Jeżeli $X$ oraz $Y$ nie komutują, to można obliczyć eksponentę sumy tych macierzy, posługując się twierdzeniem Liego

$e^{X+Y}=\lim _{k\to \infty }\left(e^{{\frac {1}{k}}X}e^{{\frac {1}{k}}Y}\right)^{k}.$

Jeżeli użyje się dostatecznie dużej wartości $k$ (np. $k=10^{6}$), to otrzyma się dokładne przybliżenie, często używane w numerycznego obliczania ewolucji w czasie jednowymiarowych układów kwantowych o wielu cząstkach, gdyż wtedy

$e^{X+Y}\approx \left(e^{{\frac {1}{k}}X}e^{{\frac {1}{k}}Y}\right)^{k}.$

Tw. Bakera-Campbelli-Hausdorffa

Gdy $X$ oraz $Y$ są dostatecznie małe i niekoniecznie komutują, to

$e^{X}\cdot e^{Y}=e^{Z},$

gdzie $Z$ jest nieskończonym szeregiem komutatorów, utworzonych z macierzy $X$ oraz $Y,$ zgodnie z tw. Bakera-Campbella-Hausdorffa

$Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}{\big [}X,[X,Y]{\big ]}-{\frac {1}{12}}{\big [}Y,[X,Y]{\big ]}+\ldots ,$

gdzie $[X,Y]=XY-YX,$ itp. Pozostałe składniki szeregu stanowią bardziej złożone komutatory, zawierające $X$ oraz $Y.$

Jeżeli $X$ oraz $Y$ komutują, tj. $[X,Y]=0,$ to wszystkie inne komutatory zerują się i otrzymuje się prosty wzór

$e^{X}\cdot e^{Y}=e^{X+Y}$

Numeryczne liczenie eksponenty macierzy

Obliczanie eksponenty macierzy w ogólnym przypadku nie jest proste. Poniżej podano kod w języku python, służący do numerycznego obliczenia eksponenty macierzy, korzystający z biblioteki NumPy, dedykowanej do obliczeń na macierzach. NumPy zawiera funkcję expm, która oblicza eksponentę macierzy. Program można uruchomić, korzystając np. z darmowego notatnika colab google online, przy czym macierz do obliczeń zadaje się w linii 4 programu, podając kolejne jej wiersze. Poniższy kod liczy eksponentę macierzy $2\times 2,$ ale łatwo go zmodyfikować do liczenia eksponenty macierzy $n\times n.$ Np. X = np. array([[1, 1, 1], [2, 1, 0], [3, 0,1]]) – macierz $n\times n$ z zapisanymi kolejnymi wierszami, zaczynając od wiersza 1-go.

import numpy as np
from scipy.linalg import expm

X = np.         array([[1, 0], [0, 1]])
expX = expm(X)

print(expX)

# Wynik
# [[2.71828183 0.        ]
# [0.         2.71828183]]

Przykłady

Macierze niekomutujące

Niech będą dane macierze

$X={\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}},\quad Y={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$

Macierze te nie komutują ze sobą, gdyż:

$XY-YX={\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\end{bmatrix}}$

Nie są więc spełnione założenia Tw. (5). Obliczając eksponenty $A=e^{X}$ oraz $B=e^{Y}$ (np. korzystając z kodu w python, podanego wyżej), a następnie mnożąc otrzymane macierze $A,B$ przez siebie otrzyma się:

$e^{X}e^{Y}={\begin{bmatrix}2{,}71828183&2{,}71828183\\0&7{,}3890561\end{bmatrix}}$

zaś

$e^{X+Y}={\begin{bmatrix}2{,}71828183&4{,}67077427\\0&7{,}3890561\end{bmatrix}}$

Widać, że tym wypadku $e^{X}e^{Y}\neq e^{X+Y}.$

Macierze komutujące

Niech będą dane macierze (tzw. macierze obrotu)

$X={\begin{bmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{bmatrix}},\quad Y={\begin{bmatrix}\cos y&-\sin y\\\sin y&\cos y\end{bmatrix}}$

Macierze te komutują ze sobą dla dowolnych kątów $x,y,$ tj. zawsze mamy:

$XY-YX={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

Z tw. (5) wynika, że w tym wypadku jest prawdą, że $e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}.$

Przykładowo, dla $x=\pi /2,y=\pi /4$ mamy

$X={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}},\quad Y={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}}$

Obliczając eksponenty $A=e^{X}$ oraz $B=e^{Y}$ (np. korzystając z kodu w python, podanego wyżej), a następnie mnożąc otrzymane macierze $A,B$ przez siebie, otrzymuje się:

$e^{X}\cdot e^{Y}={\begin{bmatrix}-0{,}27559796&-2{,}0093024\\-2{,}0093024&-0{,}27559796\end{bmatrix}}$

Obliczając macierz $C=X+Y,$ a następnie jej eksponentę, otrzymuje się

$e^{X+Y}={\begin{bmatrix}-0{,}27559796&-2{,}0093024\\-2{,}0093024&-0{,}27559796\end{bmatrix}}$

Widać, iż teraz $e^{X}e^{Y}=e^{X+Y}.$

Zobacz też

• diagonalizacja macierzy
• macierz przejścia (automatyka)

Bibliografia

• Bellman R.E., Introduction to Matrix Analysis, 2nd ed., New York: McGraw-Hill, 1970.
• Moler C., van Loan C., „Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later”, SIAM Rev. 45, 3-49, 2003.
• Cohen-Tannoudji Claude, Diu Bernard, Laloe Frank, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, ISBN 978-0471569527.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Matrix Exponential, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-11].