Funkcja ciągła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja ciągła - to, mówiąc intuicyjnie, funkcja o jednej z poniższych własności:

1) "mała” zmiana argumentu powoduje „małą” zmianę wartości funkcji,

2) dla argumentów leżących blisko siebie wartości funkcji też leżą „blisko”,

3) dla funkcji rzeczywistej (określonej na zbiorze \Bbb R lub jego podprzedziale) ciągłość można określić odwołując się do ciągłości jej wykresu: wykres funkcji ciągłej można narysować bez odrywania ołówka od papieru.

Ciągłość funkcji jest jednym z podstawowych pojęć topolgii, gdzie jest definiowana w sposób najbardziej ogólny, rozszerzając pojęcie ciągłości funkcji zmiennych rzeczywistych oraz funkcji w przestrzeniach metrycznych.

Definicja ciągłości funkcji rzeczywistych[edytuj]

Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości: 1) Cauchy'ego - podana przez Augustina Louisa Cauchy'ego, nazywana też epsilonowo-deltową z racji używania liter ε oraz δ w definicji, 2) Heinego - podana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową.

Niech M \subseteq \mathbb R oraz f\colon M \to \mathbb R.

Definicja Cauchy'ego[edytuj]

Jeżeli f spełnia dla ustalonego x \in M warunek

\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\ \ \ |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon,

to jest ona ciągła w sensie Cauchy'ego w punkcie x\in M.

Definicja Heinego[edytuj]

Jeśli dla każdego ciągu (x_n) liczb z M, który jest zbieżny do x, ciąg wartości \big(f(x_n)\big) jest zbieżny do f(x), czyli

\forall_{(x_n) \subset M}\ \ \ x_n \to x \Rightarrow f(x_n) \to f(x),

to funkcja f jest ciągła w sensie Heinego w punkcie x \in M,

Jeżeli funkcja f spełnia jeden z powyższych warunków dla każdego x \in M, to jest ona ciągła na zbiorze M odpowiednio w sensie Cauchy'ego lub w sensie Heinego.

Uwagi[edytuj]

Z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie ściśle związane są odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie.

Zgodnie z powyższą definicją każda funkcja f jest ciągła w punkcie izolowanym tj. nie będącym punktem skupienia zbioru M.

Związanie z trzecim kwantyfikatorem we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy'ego dwóch zmiennych z danego zbioru

\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x,y \in M}\; |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon,

prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej[a].

Obie definicje (Cauchy'ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru, i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.

Ciągłość jednostronna[edytuj]

Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy'ego należy dodać warunek dla y, mianowicie y < x, aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do x wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.

Przykłady[edytuj]

Rozpatrujemy funkcje \cdot\colon \mathbb R \to \mathbb R.

  • Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest również prawdą dla funkcji \cdot\colon \mathbb C \to \mathbb C).
  • Funkcja dana wzorem
f(x) = \begin{cases} \tfrac{\sin x}{x} & \mbox{dla } x \ne 0 \\\; 1 & \mbox{dla } x = 0 \end{cases}
jest ciągła.

Własności[edytuj]

  • Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
  • Jeżeli funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty, jest ciągła, f\colon [a, b] \to \mathbb R , to na dziedzinie:
  1. jest jednostajnie ciągła,
  2. przyjmuje swoje ekstrema (zob. twierdzenie Weierstrassa),
  3. ma własność Darboux (zob. twierdzenie Darboux).

Definicja ciągłości w przestrzeniach metrycznych i unormowanych[edytuj]

W przestrzeniach metrycznych i przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy'ego zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą różnicy.

Dla przestrzeni metrycznych (X, d_X) oraz (Y, d_Y) funkcja f\colon X \to Y jest ciągła, jeśli prawdziwe jest zdanie

\forall_{x \in X}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in X}\; d_X(x, y) < \delta \Rightarrow d_Y(f(x), f(y)) < \varepsilon.

Powyższą implikację można zapisać również w postaci

f(B_X(x, \delta)) \subseteq B_Y(f(x), \varepsilon)

albo

B_X(x, \delta) \subseteq f^{-1}\big(B_Y(f(x), \varepsilon)\big) ,

gdzie B_X,\ B_Y oznaczają kule odpowiednio w X oraz  Y; x, \delta oznaczają środek i promień kuli B_X (analogicznie jest dla kuli  B_Y ).

Definicja ciągłości w przestrzeniach topologicznych[edytuj]

Ciągłość funkcji w punkcie x: dla otoczenia V punktu f(x) możemy znaleźć otoczenie U punktu x takie, że f(U) jest zawarte w V.

Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii[1].

Niech (X, \tau_X) oraz (Y, \tau_Y) będą przestrzeniami topologicznymi.

Mówimy, że funkcja f\colon X \to Y jest ciągła w punkcie x, jeżeli dla każdego otoczenia V \subseteq Y punktu f(x) istnieje otoczeniu U punktu x takie, że jego obraz f(U) zawiera się w V (patrz rysunek obok).

Jeśli przestrzenie X,\ Ymetryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy'ego podaną wyżej.

Badanie ciągłości funkcji między przestrzeniami topologicznymi[edytuj]

W topologii często bada się przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z jednej przestrzeni topologicznej w inną. Niech (X, \tau_X) i (Y, \tau_Y) będą przestrzeniami topologicznymi oraz f: XY.

Aby sprawdzić ciągłość funkcji f, nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni.

a) Można zbadać dla pewnej bazy \mathcal B tej przestrzeni: funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

przeciwobraz każdego zbioru otwartego {U \in \mathcal B} jest otwarty, tj. należy do topologii \; f^{-1}(U)\in \tau_X .

b) Ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych. Mianowicie, funkcja f jest ciągła, wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jakikolwiek z następujących warunków:

  • przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w Y jest domknięty w X;
  • dla każdego zbioru AX spełniony jest warunek
f(\operatorname{cl}\;A) \subseteq \operatorname{cl}\;f(A),
gdzie cl A oznacza domknięcie zbioru A;
  • dla każdego zbioru BY spełniony jest warunek
\operatorname{cl}\;f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(\operatorname{cl}\;B).

Każda z poniższych własności jest zachowywana przez obrazy funkcji ciągłej, tzn. jeżeli f: XY jest funkcją ciągłą oraz X ma jedną z poniższych własności, to ma ją również obraz f(X):

Jeśli zbiór D jest gęsty w X, f, g: XY są ciągłe oraz f(x) = g(x) dla każdego xD, to f = g.

Przestrzeń funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi[edytuj]

Przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z przestrzeni topologicznej X w inną przestrzeń Y jest oznaczana symbolem \mathcal C(X, Y) . Przestrzeń ta jest szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnej.

Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień \mathcal C(X, \mathbb R) o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z X w \mathbb R i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni (X, \tau_X).

Na przestrzeni \mathcal C(X, \mathbb R) rozważa się także strukturę topologiczną wprowadzając topologie:

zbieżności punktowej, 
zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie \prod_{x \in X}~\mathbb R;
zbieżności jednostajnej, 
w której bazą otoczeń punktu f \in \mathcal C(X) jest \{U_n(f)\colon\ n = 1, 2, 3, \dots\}, gdzie U_n(f) = \left\{g \in \mathcal C(X)\colon\ \forall_{x \in X}\; |f(x) - g(x)| < \tfrac{1}{n}\right\}.

Definicja ciągłości funkcji w terminach teorio-mnogościowych[edytuj]

Niech (A, \le_A) oraz (B, \le_B) będą porządkami zupełnymi.

Funkcja f: A \to B jest ciągła, jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn. dla dowolnego podzbioru skierowanego X \subseteq A zachodzi  f(\sup X) = \sup f(X).

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. Należy zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorach:
    \forall_{x \in M}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\; |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon,
    \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in M}\; \forall_{y \in M}\; |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon,
    Pierwszy z nich stwierdza ciągłość funkcji w sensie Cauchy'ego na zbiorze \scriptstyle M, drugi stwierdza jednostajną ciągłość funkcji na zbiorze \scriptstyle M.

Przypisy[edytuj]

  1. T. Trajdos, Matematyka cz. III. Podręczniki akademickie, Warszawa, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, 1993, s.332.

Bibliografia[edytuj]

  • T. Trajdos, Matematyka cz. III. Podręczniki akademickie, Warszawa, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, 1993.
  • Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009.