Funkcja ciągła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja ciągła - funkcja, którą intuicyjnie można scharakteryzować jako:

1) funkcję, w której mała zmiana argumentu powoduje małą zmianę wartości funkcji; inaczej mówiąc, dla argumentów leżących blisko siebie wartości funkcji też leżą blisko,

2) funkcję rzeczywistą (określoną na zbiorze lub jego podprzedziale), której wykresem jest ciągła linia tj. linia narysowana bez odrywania ołówka od papieru.

Ciągłość funkcji jest jednym z podstawowych pojęć topolgii, gdzie jest definiowana w sposób najbardziej ogólny, rozszerzając pojęcie ciągłości funkcji zmiennych rzeczywistych oraz funkcji w przestrzeniach metrycznych.

Ciągłość funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej[edytuj]

Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości: 1) Cauchy'ego - podana przez Augustina Louisa Cauchy'ego, nazywana też epsilonowo-deltową z racji używania liter ε oraz δ w definicji, 2) Heinego - podana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową.

Niech oraz .

Definicje[edytuj]

Definicja Cauchy'ego[edytuj]

Jeżeli spełnia dla ustalonego warunek

,

to jest ona ciągła w sensie Cauchy'ego w punkcie .

Definicja Heinego[edytuj]

Jeśli dla każdego ciągu liczb z , który jest zbieżny do , ciąg wartości jest zbieżny do , czyli

,

to funkcja jest ciągła w sensie Heinego w punkcie ,

Jeżeli funkcja spełnia jeden z powyższych warunków dla każdego , to jest ona ciągła na zbiorze odpowiednio w sensie Cauchy'ego lub w sensie Heinego.

Uwagi[edytuj]

Z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie ściśle związane są odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie.

Zgodnie z powyższą definicją każda funkcja jest ciągła w punkcie izolowanym tj. nie będącym punktem skupienia zbioru .

Związanie z trzecim kwantyfikatorem we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy'ego dwóch zmiennych z danego zbioru

,

prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej[a].

Obie definicje (Cauchy'ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru, i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.

Ciągłość jednostronna[edytuj]

Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy'ego należy dodać warunek dla , mianowicie , aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.

Przykłady[edytuj]

Rozpatrujemy funkcje .

  • Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest również prawdą dla funkcji ).
  • Funkcja dana wzorem
jest ciągła.
  • Funkcja skokowa Heaviside'a jest ciągła prawie wszędzie – we wszystkich punktach dziedziny poza zerem:
  • Funkcja Dirichleta jest nigdzie ciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny).
    • Funkcja jest ciągła wyłącznie w punkcie .
    • Funkcja jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny.
  • Funkcja Riemanna jest ciągła we wszystkich niewymiernych i nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.

Własności[edytuj]

  • Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
  • Jeżeli funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty, jest ciągła, , to na dziedzinie:
  1. jest jednostajnie ciągła,
  2. przyjmuje swoje ekstrema (zob. twierdzenie Weierstrassa),
  3. ma własność Darboux (zob. twierdzenie Darboux).

Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych i unormowanych[edytuj]

Definicje[edytuj]

W przestrzeniach metrycznych i przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy'ego zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą różnicy.

Dla przestrzeni metrycznych oraz funkcja jest ciągła w punkcie , jeśli prawdziwe jest zdanie

.

Powyższą implikację można zapisać również w postaci

   albo    ,

gdzie oznaczają kule otwarte odpowiednio w oraz ; oznaczają środek i promień kuli (analogicznie jest dla kuli ).

Odpowiednikiem definicji ciągłości funkcji w sensie Heinego jest:

.

Przykłady[edytuj]

  • Dwuargumentowe działania algebraiczne     zdefiniowane     dla .
    Zbiór liczb zespolonych jest przestrzenią metryczną w metryką ,
    zbiór par liczb zespolonych jest przestrzenią metryczną w metryką ,
    gdzie oznacza moduł liczby zespolonej.
  • Jednoargumentowe działanie algebraiczne     zdefiniowane     dla .
  • Jednoargumentowe działanie     zdefiniowane     dla .
  • Metryka naturalna na sferze , zdefiniowana formalnie jako czyli jako kąt między niezerowymi wektorami

Ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznych[edytuj]

Definicja[edytuj]

Ciągłość funkcji w punkcie : dla otoczenia punktu możemy znaleźć otoczenie punktu takie, że jest zawarte w .

Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii[1].

Niech oraz będą przestrzeniami topologicznymi.

Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie , jeżeli dla każdego otoczenia punktu , istnieje otoczenie punktu takie, że jego obraz zawiera się w (patrz rysunek obok).

Jeśli przestrzenie metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy'ego podaną wyżej.

Badanie ciągłości funkcji między przestrzeniami topologicznymi[edytuj]

W topologii często bada się przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z jednej przestrzeni topologicznej w inną. Niech i będą przestrzeniami topologicznymi oraz f: XY.

Aby sprawdzić ciągłość funkcji f, nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni.

a) Można zbadać dla pewnej bazy tej przestrzeni: funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest otwarty, tj. należy do topologii .

b) Ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych. Mianowicie, funkcja f jest ciągła, wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jakikolwiek z następujących warunków:

  • przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w Y jest domknięty w X;
  • dla każdego zbioru AX spełniony jest warunek
,
gdzie cl A oznacza domknięcie zbioru A;
  • dla każdego zbioru BY spełniony jest warunek
.

Każda z poniższych własności jest zachowywana przez obrazy funkcji ciągłej, tzn. jeżeli f: XY jest funkcją ciągłą oraz X ma jedną z poniższych własności, to ma ją również obraz f(X):

Jeśli zbiór D jest gęsty w X, f, g: XY są ciągłe oraz f(x) = g(x) dla każdego xD, to f = g.

Przestrzeń funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi[edytuj]

Przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z przestrzeni topologicznej w inną przestrzeń jest oznaczana symbolem . Przestrzeń ta jest szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnej.

Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z w i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni .

Na przestrzeni rozważa się także strukturę topologiczną wprowadzając topologie:

zbieżności punktowej, 
zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie
zbieżności jednostajnej, 
w której bazą otoczeń punktu jest , gdzie .

Ciągłość funkcji w terminach teorio-mnogościowych[edytuj]

Niech oraz będą porządkami zupełnymi.

Funkcja jest ciągła, jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn. dla dowolnego podzbioru skierowanego zachodzi

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. Należy zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorach:
    ,
    ,
    Pierwszy z nich stwierdza ciągłość funkcji w sensie Cauchy'ego na zbiorze , drugi stwierdza jednostajną ciągłość funkcji na zbiorze .

Przypisy

  1. T. Trajdos, Matematyka cz. III. Podręczniki akademickie, Warszawa, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, 1993, s.332.

Bibliografia[edytuj]

  • T. Trajdos, Matematyka cz. III. Podręczniki akademickie, Warszawa, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, 1993.
  • Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009.