Funkcja ciągła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Funkcja ciągłafunkcja o następującej intuicyjnej własności: „mała” zmiana argumentu niesie ze sobą „małą” zmianę wartości; lub też: wartości funkcji dla „bliskich” sobie argumentów również będą sobie „bliskie”.

Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej (określona na całym zbiorze \Bbb R lub jego podprzedziale, skończonym lub nie) może być postrzegana jako ciągła, jeżeli jej wykres można „narysować bez odrywania ołówka od papieru” (bez ograniczeń w czasie lub przestrzeni).

Funkcje rzeczywiste[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości: jedna z nich podana przez Augustina Louisa Cauchy'ego, nazywana popularnie epsilonowo-deltową z racji przyjętych zwyczajowych oznaczeń; druga zaproponowana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową. Niech M \subseteq \mathbb R oraz f\colon M \to \mathbb R.

Definicja Cauchy'ego[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli f spełnia dla ustalonego x \in M warunek

\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\ \ \ |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon,

to jest ona ciągła w sensie Cauchy'ego w punkcie x. Jeżeli spełnia ona powyższy warunek dla każdego x \in M, czyli

\forall_{x \in M}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\ \ \ |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon,

to mówimy, że jest ciągła (w sensie Cauchy'ego) na zbiorze M.

Definicja Heinego[edytuj | edytuj kod]

Funkcja f jest ciągła w sensie Heinego w punkcie x \in M, jeśli dla każdego ciągu (x_n) liczb z M, który jest zbieżny do x, ciąg wartości \big(f(x_n)\big) jest zbieżny do f(x), czyli

\forall_{x \in M}\ \ \ x_n \to x \Rightarrow f(x_n) \to f(x).

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Warto zauważyć, że z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie są związane odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie. Używając pojęcia granicy funkcji możemy powiedzieć, że funkcja f jest ciągła w punkcie x \in X, gdy albo x nie jest punktem skupienia zbioru M, albo \lim\limits_{a \to x}~f(a) = f(x).

Należy także zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy'ego dla danego zbioru. Przesunięcie pierwszego kwantyfikatora na trzecią pozycję, mianowicie

\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in M}\; \forall_{y \in M}\; |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon,

prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej.

Obie definicje (Cauchy'ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru, i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.

Ciągłość jednostronna[edytuj | edytuj kod]

Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy'ego należy dodać warunek dla y, mianowicie y < x, aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do x wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrujemy funkcje \cdot\colon \mathbb R \to \mathbb R.

  • Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest również prawdą dla funkcji \cdot\colon \mathbb C \to \mathbb C).
  • Funkcja dana wzorem
f(x) = \begin{cases} \tfrac{\sin x}{x} & \mbox{dla } x \ne 0 \\\; 1 & \mbox{dla } x = 0 \end{cases}
jest ciągła.

Przestrzenie metryczne i unormowane[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeniach metrycznych i przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy'ego zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą różnicy.

Dla przestrzeni metrycznych (X, d_X) oraz (Y, d_Y) funkcja f\colon X \to Y jest ciągła, jeśli prawdziwy jest wzór

\forall_{x \in X}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in X}\; d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \varepsilon.

Powyższą implikację można zapisać również w postaci

f(B_X(x, \delta)) \subseteq B_Y(f(x), \varepsilon)

albo

B_X(x, \delta) \subseteq f^{-1}\big(B_Y(f(x), \varepsilon)\big),

gdzie B_X,\ B_Ykulami odpowiednio w X,\ Y, a w nawiasach po oznaczeniu kuli pisze się jej środek i promień.

Przestrzenie topologiczne[edytuj | edytuj kod]

Ciągłość funkcji w punkcie: dla otoczenia V punktu f(x) możemy znaleźć otoczenie U punktu x takie, że f(U) jest zawarte w V (czyli U jest zawarte w przeciwobrazie V)

Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii.

Niech (X, \tau_X) oraz (Y, \tau_Y) będą przestrzeniami topologicznymi, a f\colon X \to Y przekształceniem między nimi. Powiemy, że f jest ciągłe, jeśli przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w Y jest zbiorem otwartym w X, co zapisuje się następująco:

\forall_{U \in \tau_Y}\; f^{-1}(U) \in \tau_X.

Równoważnie można wymagać, aby przeciwobraz zbioru domkniętego był domknięty. Jeśli przestrzenie X,\ Ymetryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy'ego podaną wyżej.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty[edytuj | edytuj kod]

Jeśli funkcja f\colon [a, b] \to \mathbb R jest ciągła, to f na swojej dziedzinie

Topologia[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, \tau_X) i (Y, \tau_Y) będą przestrzeniami topologicznymi oraz f: XY.

Aby sprawdzić ciągłość funkcji f, nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni, lecz wystarczy to zrobić dla pewnej jej bazy \mathcal B: Funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy

\; f^{-1}(U)\in \tau_X dla każdego {U \in \mathcal B}.

Ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych. Mianowicie, funkcja f jest ciągła, wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jakikolwiek z następujących warunków:

  • przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w Y jest domknięty w X;
  • dla każdego zbioru AX spełniony jest warunek
f(\operatorname{cl}\;A) \subseteq \operatorname{cl}\;f(A),
gdzie cl A oznacza jdomknięcie zbioru A;
  • dla każdego zbioru BY spełniony jest warunek
\operatorname{cl}\;f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(\operatorname{cl}\;B).

Każda z poniższych własności jest zachowywana przez obrazy funkcji ciągłej (tzn. jeżeli f: XY jest funkcją ciągłą oraz X ma jedną z poniższych własności, to ma ją również obraz f(X)):

Jeśli zbiór D jest gęsty w X, f, g: XY są ciągłe oraz f(x) = g(x) dla każdego xD, to f = g.

Przestrzeń funkcji ciągłych[edytuj | edytuj kod]

W topologii i analizie funkcjonalnej często bada się przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z pewnej przestrzeni topologicznej X w inną Y. Taka przestrzeń jest oznaczana symbolem \mathcal C(X, Y) i jest szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnej.

Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień \mathcal C(X, \mathbb R) o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z X w \mathbb R i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni (X, \tau_X).

Na przestrzeni \mathcal C(X, \mathbb R) rozważa się także strukturę topologiczną wprowadzając topologie:

zbieżności punktowej, 
zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie \prod_{x \in X}~\mathbb R;
zbieżności jednostajnej, 
w której bazą otoczeń punktu f \in \mathcal C(X) jest \{U_n(f)\colon\ n = 1, 2, 3, \dots\}, gdzie U_n(f) = \left\{g \in \mathcal C(X)\colon\ \forall_{x \in X}\; |f(x) - g(x)| < \tfrac{1}{n}\right\}.

Pojęcie teorio-mnogościowe[edytuj | edytuj kod]

Niech (A, \le_A) oraz (B, \le_B) będą porządkami zupełnymi, wtedy funkcja f: A \to B jest ciągła, jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn:

Niech X \subseteq A będzie podzbiorem skierowanym, wtedy  f(\sup X) = \sup f(X).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]