Funkcja ciągła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja ciągłafunkcja, którą intuicyjnie można scharakteryzować jako:

  1. funkcję, w której mała zmiana argumentu powoduje małą zmianę wartości funkcji; inaczej mówiąc, dla argumentów leżących blisko siebie wartości funkcji też leżą blisko,
  2. funkcję rzeczywistą (określoną na zbiorze lub jego podprzedziale), której wykresem jest ciągła linia tj. linia narysowana bez odrywania ołówka od papieru.

Ciągłość funkcji jest jednym z podstawowych pojęć topologii, gdzie jest definiowana w sposób najbardziej ogólny, rozszerzając pojęcie ciągłości funkcji zmiennych rzeczywistych oraz funkcji w przestrzeniach metrycznych.

Ciągłość funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej istnieją dwie równoważne definicje ciągłości:

Niech oraz

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Definicja Cauchy’ego[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli spełnia dla ustalonego warunek

to jest ona ciągła w sensie Cauchy’ego w punkcie

Definicja Heinego[edytuj | edytuj kod]

Jeśli dla każdego ciągu liczb z który jest zbieżny do ciąg wartości jest zbieżny do czyli

to funkcja jest ciągła w sensie Heinego w punkcie

Jeżeli funkcja spełnia jeden z powyższych warunków dla każdego to jest ona ciągła na zbiorze odpowiednio w sensie Cauchy’ego lub w sensie Heinego.

Uwagi do definicji[edytuj | edytuj kod]

Z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie ściśle związane są odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie.

Zgodnie z powyższą definicją każda funkcja jest ciągła w punkcie izolowanym tj. nie będącym punktem skupienia zbioru

Związanie z trzecim kwantyfikatorem we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy’ego dwóch zmiennych z danego zbioru

prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej[a].

Obie definicje (Cauchy’ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru, i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.

Ciągłość jednostronna[edytuj | edytuj kod]

Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy’ego należy dodać warunek dla mianowicie aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrujemy funkcje

  • Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swojej dziedzinie (co jest również prawdą dla funkcji ).
  • Funkcja dana wzorem
jest ciągła.
  • Funkcja skokowa Heaviside’a jest ciągła prawie wszędzie – we wszystkich punktach dziedziny poza zerem:
  • Funkcja Dirichleta jest nigdzie ciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny).
    • Funkcja jest ciągła wyłącznie w punkcie
    • Funkcja jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny.
  • Funkcja Riemanna jest ciągła we wszystkich niewymiernych i nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.
  • Jeżeli funkcja rzeczywista, której dziedziną jest przedział domknięty, jest ciągła, to na dziedzinie:
  1. jest jednostajnie ciągła,
  2. przyjmuje swoje ekstrema (zob. twierdzenie Weierstrassa),
  3. ma własność Darboux (zob. twierdzenie Darboux).

Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych i unormowanych[edytuj | edytuj kod]

Definicje[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeniach metrycznych i przestrzeniach unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy’ego, zastępując każdą wartość bezwzględną różnicy odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą różnicy.

Dla przestrzeni metrycznych oraz funkcja jest ciągła w punkcie jeśli prawdziwe jest zdanie

Powyższą implikację można zapisać również w postaci

 albo 

gdzie oznaczają kule otwarte odpowiednio w oraz oznaczają środek i promień kuli (analogicznie jest dla kuli ).

Odpowiednikiem definicji ciągłości funkcji w sensie Heinego jest:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Dwuargumentowe działania algebraiczne  zdefiniowane  dla
    Zbiór liczb zespolonych jest przestrzenią metryczną w metryką
    zbiór par liczb zespolonych jest przestrzenią metryczną w metryką
    gdzie oznacza moduł liczby zespolonej.
  • Jednoargumentowe działanie algebraiczne  zdefiniowane  dla
  • Jednoargumentowe działanie  zdefiniowane  dla
  • Metryka naturalna na sferze zdefiniowana formalnie jako czyli jako kąt między niezerowymi wektorami

Ciągłość funkcji w przestrzeniach topologicznych[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Ciągłość funkcji w punkcie : dla otoczenia punktu możemy znaleźć otoczenie punktu takie, że jest zawarte w

Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii[1].

Niech oraz będą przestrzeniami topologicznymi.

Mówimy, że funkcja jest ciągła w punkcie jeżeli dla każdego otoczenia punktu istnieje otoczenie punktu takie, że jego obraz zawiera się w (patrz rysunek obok).

Jeśli przestrzenie metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy’ego podaną wyżej.

Badanie ciągłości funkcji między przestrzeniami topologicznymi[edytuj | edytuj kod]

W topologii często bada się przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z jednej przestrzeni topologicznej w inną. Niech i będą przestrzeniami topologicznymi oraz

Aby sprawdzić ciągłość funkcji nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni.

  • Można zbadać dla pewnej bazy tej przestrzeni: funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest otwarty, tj. należy do topologii
  • Ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych. Mianowicie, funkcja jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jakikolwiek z następujących warunków:
    • przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w jest domknięty w
    • dla każdego zbioru spełniony jest warunek

      gdzie oznacza domknięcie zbioru
    • dla każdego zbioru spełniony jest warunek

Każda z poniższych własności jest zachowywana przez obrazy funkcji ciągłej, tzn. jeżeli jest funkcją ciągłą oraz ma jedną z poniższych własności, to ma ją również obraz :

Jeśli zbiór jest gęsty w a są ciągłe oraz dla każdego to

Przestrzeń funkcji ciągłych między przestrzeniami topologicznymi[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń, której elementami są funkcje ciągłe z przestrzeni topologicznej w inną przestrzeń jest oznaczana symbolem Przestrzeń ta jest szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnej.

Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z w i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni

Na przestrzeni rozważa się także strukturę topologiczną, wprowadzając topologie:

zbieżności punktowej
zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie
zbieżności jednostajnej
w której bazą otoczeń punktu jest gdzie

Ciągłość funkcji w terminach teorio-mnogościowych[edytuj | edytuj kod]

Niech oraz będą porządkami zupełnymi.

Funkcja jest ciągła, jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn. dla dowolnego podzbioru skierowanego zachodzi

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Należy zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorach:
    Pierwszy z nich stwierdza ciągłość funkcji w sensie Cauchy’ego na zbiorze drugi stwierdza jednostajną ciągłość funkcji na zbiorze

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. T. Trajdos, Matematyka cz. III. Podręczniki akademickie, Warszawa, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1993, s. 332.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • T. Trajdos, Matematyka cz. III, Podręczniki akademickie, Warszawa, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1993.
  • Kołodziej Witold: Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.