Kowariancja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kowariancja, – liczba określająca zależność liniową między zmiennymi losowymi X i Y.

Definicja[edytuj]

Matematycznie kowariancję definiuje się wzorem:

.

Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest:

gdzie: jest wartością oczekiwaną.

Interpretacja[edytuj]

Jeżeli między zmiennymi losowymi X i Y nie istnieje żadna zauważalna korelacja liniowa i istnieją ich wartości oczekiwane, to kowariancja przyjmuje wartość 0 (nie musi to być prawda dla kowariancji w próbie losowej z tych zmiennych).

Innymi słowy: zmienne losowe X i Y są niezależne, a więc

zatem:

Wartości kowariancji zbliżone, czy nawet równe zero nie świadczą jednak o całkowitej niezależności zmiennych losowych. Zawsze istnieje bowiem możliwość, że są one zależne nieliniowo.

Na przykład, jeśli zmienna losowa Z ma rozkład jednostajny na przedziale [0,2π], a zmienne losowe byłyby zdefiniowane jako:

to pomimo ich oczywistej zależności (jedynka trygonometryczna) mamy .

Związek ze współczynnikiem korelacji liniowej[edytuj]

Kowariancja jest powiązana ze współczynnikiem korelacji Pearsona:

gdzie:

  • to współczynnik korelacji liniowej pomiędzy zmiennymi i
  • to odchylenie standardowe zmiennej
  • to odchylenie standardowe zmiennej

Zobacz też[edytuj]