Kowariancja

Kowariancja, $\operatorname {cov} (X,Y)\$ – liczba określająca zależność liniową między zmiennymi losowymi X i Y.

Definicja

Matematycznie kowariancję definiuje się wzorem:

$\operatorname {cov} (X,Y)=\mathrm {E} [(X-\mathrm {E} X)\cdot (Y-\mathrm {E} Y)]\$.

Wygodniejszym, równoważnym wzorem jest:

$\operatorname {cov} (X,Y)=\mathrm {E} (X\cdot Y)-\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y\$

gdzie: $\mathrm {E} \$ jest wartością oczekiwaną.

Interpretacja

Jeżeli między zmiennymi losowymi X i Y nie istnieje żadna zauważalna korelacja liniowa i istnieją ich wartości oczekiwane, to kowariancja przyjmuje wartość 0 (nie musi to być prawda dla kowariancji w próbie losowej z tych zmiennych).

Innymi słowy: zmienne losowe X i Y są niezależne, a więc

$\mathrm {E} (X\cdot Y)=\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y,$

zatem:

$\operatorname {cov} (X,Y)=\mathrm {E} (X\cdot Y)-\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y=\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y-\mathrm {E} X\cdot \mathrm {E} Y=0\$

Wartości kowariancji zbliżone, czy nawet równe zero nie świadczą jednak o całkowitej niezależności zmiennych losowych. Zawsze istnieje bowiem możliwość, że są one zależne nieliniowo.

Na przykład, jeśli zmienna losowa Z ma rozkład jednostajny na przedziale [0,2π], a zmienne losowe byłyby zdefiniowane jako:

$X=\sin Z\;$

$Y=\cos Z\;$

to pomimo ich oczywistej zależności (jedynka trygonometryczna) mamy $\operatorname {cov} (X,Y)=0$.

Związek ze współczynnikiem korelacji liniowej

Kowariancja jest powiązana ze współczynnikiem korelacji Pearsona:

$\operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {corr} (X,Y)\sigma _{X}\sigma _{Y}$

gdzie:

• $\operatorname {corr} (X,Y)$ to współczynnik korelacji liniowej pomiędzy zmiennymi $X$ i $Y$
• $\sigma _{X}\;$ to odchylenie standardowe zmiennej $X\;$
• $\sigma _{Y}\;$ to odchylenie standardowe zmiennej $Y\;$

Zobacz też

• macierz kowariancji
• wariancja
• korelacja
• kowariancja i kontrawariancja