Regula falsi: Różnice pomiędzy wersjami

Przeglądaj historię interaktywnie

[wersja przejrzana]

← poprzednia edycja następna edycja →

Usunięta treść Dodana treść

WizualnieWikikod

Jednokolumnowy

Wersja z 03:00, 8 lip 2016

Regula falsi (łac. fałszywa linia prosta, fałszywa reguła) – algorytm rozwiązywania równań nieliniowych jednej zmiennej.

Na funkcję $y=f(x)$ nakładane są następujące ograniczenia:

W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: $f(a)f(b)<0$ .
Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki.

Algorytm przebiega następująco:

Na początku przez punkty $A=(a,f(a))$ i $B=(b,f(b))$ przeprowadzana jest cięciwa.
Punkt przecięcia $x_{1}$ z osią OX jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.
Jeśli to przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się.
Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty $(x_{1},f(x_{1}))$ oraz $A$ lub $B$ – wybierany jest ten punkt, którego rzędna ma znak przeciwny do $f(x_{1})$ . Jednak w praktyce, dzięki ograniczeniu nr 3 już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem.
Następnie wyznaczane jest przecięcie nowo wyznaczonej cięciwy z osią OX ( $x_{i}$ ) i algorytm powtarza się.

Nazwa metody pochodzi od łacińskich słów: regula¹ znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i falsus, fałszywy – metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako „fałszywa linia prosta”, jak i „fałszywa reguła” i obydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.

Wzory

$x_{1}={\frac {af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}}$

$x_{i+1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x_{i}f(a)-af(x_{i})}{f(a)-f(x_{i})}}&gdy&f(a)f(x_{i})\leq 0\\\\{\frac {x_{i}f(b)-bf(x_{i})}{f(b)-f(x_{i})}}&gdy&f(b)f(x_{i})<0\end{matrix}}\right.$

dla $i=1,2,...$

Inne numeryczne metody wyznaczania pierwiastków równania nieliniowego:

metoda bisekcji
metoda siecznych
metoda Newtona (metoda stycznych)
algorytm Illinois (zmodyfikowana metoda siecznych)

Linki zewnętrzne

http://www.algorytm.org/index.php?option=com_content&task=view&id=79&Itemid=2

@@ Linia 3: / Linia 3: @@
 Na funkcję <math>y=f(x)</math> nakładane są następujące ograniczenia:
+# W przedziale [a,b] znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
-# Funkcja jest ciągła w przedziale <math>[a,b]</math>.
+# Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: <math>f(a)f(b) < 0</math>.
-# W przedziale <math>[a,b]</math> znajduje się dokładnie jeden pojedynczy pierwiastek.
-# Na końcach przedziału funkcja ma różne znaki: <math>f(a)f(b)<0</math>.
 # Pierwsza i druga pochodna istnieją i mają na tym przedziale stałe znaki.
-'''Uwaga:''' Ostatnie ograniczenie jest istotne tylko ze względu na możliwość szacowania błędu przybliżenia pierwiastka po danej iteracji i nie wpływa na zbieżność metody.
 Algorytm przebiega następująco:
 * Na początku przez punkty <math>A=(a, f(a))</math> i <math>B=(b, f(b))</math> przeprowadzana jest [[cięciwa]].
-* Punkt przecięcia <math>x_1</math> z osią <math>OX</math> jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.
+* Punkt przecięcia <math>x_1</math> z osią OX jest brany jako pierwsze przybliżenie pierwiastka.
 * Jeśli to przybliżenie jest wystarczająco dobre, algorytm kończy się.
-* Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty <math>(x_1, f(x_1))</math> oraz <math>A</math> lub <math>B</math> – wybierany jest ten punkt, którego [[rzędna]] ma znak przeciwny do <math>f(x_1)</math>. Jeżeli jest spełnione ograniczenie nr&nbsp;4, to już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem i metoda nie różni się od [[Metoda siecznych|metody siecznych)]].
+* Jeśli nie, to prowadzona jest cięciwa przez punkty <math>(x_1, f(x_1))</math> oraz <math>A</math> lub <math>B</math> – wybierany jest ten punkt, którego [[rzędna]] ma znak przeciwny do <math>f(x_1)</math>. Jednak w praktyce, dzięki ograniczeniu nr 3 już na początku algorytmu wiadomo, który z tych punktów będzie stały, tzn. wybierany za każdym razem.
-* Następnie wyznaczane jest przecięcie <math>x_i</math> nowo wyznaczonej cięciwy z osią <math>OX</math> i algorytm powtarza się.
+* Następnie wyznaczane jest przecięcie nowo wyznaczonej cięciwy z osią OX (<math>x_i</math>) i algorytm powtarza się.
 Nazwa metody pochodzi od [[Łacina|łacińskich]] słów: ''regula<sup>[http://lysy2.archives.nd.edu/cgi-bin/words.exe?regula 1]</sup>'' znaczące zarówno linię prostą, jak i regułę i ''falsus'', fałszywy – metoda bazuje na fałszywym twierdzeniu (regule), że na pewnym przedziale funkcja jest liniowa. Można więc tę nazwę przetłumaczyć zarówno jako „fałszywa linia prosta”, jak i „fałszywa reguła” i obydwa te tłumaczenia mają w tym kontekście sens.