Suma zdarzeń

Suma zdarzeń – zdarzenie losowe, które zachodzi wtedy, gdy zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń je tworzących.

Definicja formalna

Niech $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ będzie przestrzenią probabilistyczną. Sumą zdarzeń $A_{i}\in {\mathcal {F}},\ i\in I$ nazywamy zdarzenie $\bigcup \limits _{i\in I}A_{i}.$

W przypadku skończonej liczby zdarzeń $A_{1},A_{2},\dots A_{n}$ ich sumę zapisujemy jako $A_{1}\cup A_{2}\dots A_{n}.$

Przykład

Niech zbiorem zdarzeń elementarnych będzie zbiór wszystkich wyników rzutu kostką. Sumą zdarzeń „wypadła parzysta liczba oczek”, tzn. $A=\{2,4,6\}$ oraz „wypadła liczba oczek będąca liczbą pierwszą”, tzn. $B=\{2,3,5\}$ jest zdarzenie: $A\cup B=\{2,3,4,5,6\}.$

Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Jeżeli $P$ jest prawdopodobieństwem określonym na pewnej przestrzeni probabilistycznej, $A$ i $B$ zdarzeniami tej przestrzeni, to prawdziwy jest wzór:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

Dla trzech zdarzeń $A,B,C{:}$

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(A\cap C)+P(A\cap B\cap C).$

Oba wzory są szczególnym przypadkiem tak zwanego wzoru włączeń i wyłączeń, który dla $n\in \mathbb {N}$ i zdarzeń $A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}$ jest postaci:

$P(A_{1}\cup A_{2}\cup \ldots \cup A_{n})$

$=P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots +P(A_{n})-P(A_{1}\cap A_{2})-\ldots +P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})+\ldots -P(A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4})\dots$

Kropki oznaczają wszystkie możliwe iloczyny zdarzeń po dwa, trzy i tak dalej (do zrozumienia jak korzystać z tego wzoru, przydatna jest analiza użycia w przypadku trzech zdarzeń).

Zobacz też

• różnica zdarzeń