Zasada włączeń i wyłączeń

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu kombinatoryka.




permutacja bez powtórzeń
permutacja z powtórzeniami


kombinacja bez powtórzeń
kombinacja z powtórzeniami


wariacja bez powtórzeń
wariacja z powtórzeniami


liczby Bella
liczby Catalana
liczby Stirlinga
liczby Eulera


zasada szufladkowa Dirichleta
zasada włączeń i wyłączeń


Zasada właczeń i wyłączeń, pokazana dla trzech zbiorów

Zasada włączeń i wyłączeń - reguła kombinatoryczna, pozwalająca na określenie liczby elementów skończonej sumy mnogościowej skończonych zbiorów. Autorstwo zasady przypisywane jest zazwyczaj Abrahamowi de Moivre, chociaż bywa nazywana od nazwisk matematyków, Jamesa Josepha Sylvestera oraz Henriego Poincaré.

Twierdzenie[edytuj]

Niech będą dowolnymi skończonymi zbiorami zaś . Wówczas

,

gdzie oznacza moc zbioru

Przykład[edytuj]

Dla trzech zbiorów skończonych liczba elementów ich sumy wyraża się wzorem:

Wzór zapewnia, że elementy znajdujące się jednocześnie w kilku spośród zbiorów liczone są dokładnie raz.

Dowód[edytuj]

Niech element należy dokładnie do spośród zbiorów . W sumie mnogościowej ma on być liczony tylko jeden raz. W wyrażeniu

liczba zliczeń pojedynczego elementu jest równa:

,

bowiem występuje on w zbiorach spośród , zbiorach spośród itd.

Na mocy rozwinięcia Newtona wyrażenie to jest równe , co dowodzi poprawności zasady włączeń i wyłączeń, bowiem element został policzony tylko jeden raz.

Uogólnienia[edytuj]

Zasada włączeń i wyłączeń pozostaje prawdziwa, gdy nasze rozważania przeniesiemy na dowolną przestrzeń mierzalną . Wtedy, twierdzenie przyjmuje postać:

Niech dana będzie przestrzeń mierzalna . Dla dowolnych zbiorów mierzalnych (tj. należących do -algebry ) o skończonej mierze zachodzi

.

W szczególności, podana wcześniej moc zbioru jest miarą liczącą.

W teorii prawdopodobieństwa, gdzie rozważa się przestrzenie zdarzeń elementarnych, wraz z określonymi nań miarami probabilistycznymi, zwanymi prawdopodobieństwami, wzór włączeń-wyłączeń odgrywa rolę przy liczeniu prawdopodobieństwa zajścia odpowiednich zdarzeń. Dla dowolnych zdarzeń wzór ten przyjmuje postać

i ogólnie,

,

gdzie jest prawdopodobieństwem, określonym w danym eksperymencie losowym (przestrzeni probabilistycznej).

Bibliografia[edytuj]

  • Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2001, s. 11-12.
  • Zbigniew Bobiński, Lev Kourliandtchik, Mirosław Uscki: Miniatury matematyczne. Elementarne metody w kombinatoryce. Toruń: Wydawnictwo Aksjomat, 2002, s. 11-15. ISBN 83-87329-35-5.