Sygnał okresowy

Sygnał okresowy, sygnał okresowo zmienny – pojęcie stosowane w elektronice, telekomunikacji, elektrotechnice, akustyce, automatyce, fizyce oraz innych dziedzinach nauki i techniki. Oznacza sygnał zależny od czasu, którego wartości powtarzają się w stałych odstępach, trwających przez czas zwany okresem. Sygnał taki można opisać okresową funkcją matematyczną.

Definicja

Sygnałem okresowo zmiennym nazywa się każdą wielkość fizyczną $x(t)$ zależną od czasu, jeżeli spełnia ona warunek

x(t)=x(t+kT),

gdzie:

k=1,2,\dots

T

– ustalona wartość nazywana okresem sygnału.

Oznacza to, że wartości sygnału powtarzają się w odstępach czasu będących wielokrotnościami $T.$ Sygnał taki jest funkcją okresową czasu.

Okres i częstotliwość

Najmniejszą wartość $T$ o tej własności nazywamy okresem podstawowym lub okresem sygnału. Z okresem związana jest częstotliwość $f$ i pulsacja $\omega$ (częstość kołowa):

f={\frac {1}{T}}

oraz

\omega =2\pi \cdot f.

Składowe harmoniczne

Sygnał okresowo zmienny można przedstawić w postaci szeregu Fouriera, który może być zapisany na przykład w następującej postaci:

x(t)=X_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}\cdot \sin(n\,{\omega }t+\varphi _{n}),

gdzie:

X_{0}

– składowa stała,

X_{n}

– amplituda n-tej harmonicznej,

\varphi _{n}

– przesunięcie fazowe n-tej harmonicznej.

Pierwsza harmoniczna nosi też nazwę składowej podstawowej. Sygnał, który zawiera tylko jedną harmoniczną, jest sygnałem sinusoidalnym o amplitudzie $X_{1}$

Wartość szczytowa

Wartość szczytowa (ang. peak value), zwana też wartością maksymalną sygnału, jest określona jako:

X_{max}=\max |x(t)|.

Wartość maksymalna sygnału sinusoidalnego nie posiadającego składowej stałej jest równa amplitudzie tego sygnału. Stosowane też bywa podobne pojęcie wartości międzyszczytowej (ang. peak-to-peak value):

X_{pp}=\max |x(t)>0|+\max |x(t)<0|.

Dla sygnału sinusoidalnego wartość międzyszczytowa jest równa podwojonej amplitudzie.

Wartość średnia

Wartość średnia sygnału jest określona wzorem:

X_{m}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\,x(t)dt.

Tak określona wartość średnia jest tożsama ze składową stałą $X_{0}$ szeregu Fouriera tego sygnału (patrz wyżej). Sygnał okresowy symetryczny względem osi $x=0$ ma wartość średnią równą zeru, toteż używa się także średniej z wartości bezwzględnej (w matematyce i teorii sygnałów: pierwszy moment absolutny, w elektrotechnice: wartość średnia sygnału wyprostowanego), która dla sygnałów nierównych tożsamościowo zeru ma wartość dodatnią:

X_{e}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\,|x(t)|dt.

Wartość skuteczna

Wartość skuteczna (ang. RMS value) określa parametry energetyczne sygnału. W elektrotechnice najczęściej podaje się tę właśnie wartość, jeżeli mowa jest o prądzie lub napięciu zmiennym bez dodania określeń: średnie, chwilowe, maksymalne itp. Jest ona określona wzorem:

X_{sk}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\,x^{2}(t)dt}}.

Wartość skuteczną można też wyrazić poprzez amplitudy składowych harmonicznych (współczynniki rozwinięcia sygnału w szereg Fouriera – patrz wyżej):

X_{sk}={\sqrt {X_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}^{2}}}.

Powyższy wzór jest treścią tożsamości Parsevala w teorii szeregów Fouriera.

Współczynniki bezwymiarowe

Współczynnik kształtu

Współczynnik kształtu (ang. waveform factor) jest stosunkiem wartości skutecznej do średniej z wartości bezwzględnej:

k_{k}={\frac {X_{sk}}{X_{e}}}.

Współczynnik szczytu

Współczynnik szczytu (ang. crest factor) podaje stosunek wartości maksymalnej (szczytowej) do wartości skutecznej sygnału:

k_{sz}={\frac {X_{max}}{X_{sk}}}

Współczynnik zawartości harmonicznych

Współczynnik zawartości harmonicznych mierzy w pewien sposób odchyłkę sygnału od przebiegu sinusoidalnego. Stosowane są dwie różne definicje tego współczynnika:

h_{1}={\frac {\sqrt {\sum \limits _{n=2}^{\infty }X_{n}^{2}}}{X_{1}}}

lub

h_{2}={\frac {\sqrt {\sum \limits _{n=2}^{\infty }X_{n}^{2}}}{\sqrt {\sum \limits _{n=1}^{\infty }X_{n}^{2}}}}

(ta ostatnia wielkość bywa też nazywana współczynnikiem zniekształceń).

Wartości parametrów dla wybranych sygnałów okresowych

Poniższa tabela podaje wartości wymienionych wyżej parametrów dla wybranych przebiegów okresowych. Przyjęto, że przebiegi pokazane w tabeli mają jednostkową wartość szczytową (amplitudę).

Rodzaj sygnału	Postać sygnału	Wartość średnia bezwzględna	Wartość skuteczna	Współczynnik kształtu	Współczynnik szczytu	Współczynnik zawartości harmonicznych
Rodzaj sygnału	Postać sygnału	Wartość średnia bezwzględna	Wartość skuteczna	Współczynnik kształtu	Współczynnik szczytu	$h_{1}$	$h_{2}$
Sygnał stały (DC)	––––––––––––	$1$	$1$	$1$	$1$	nieokreślony	nieokreślony
Sinusoidalny	Sinusoida	${\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}637$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707$	${\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\approx 1{,}11$	${\sqrt {2}}\approx 1{,}414$	$0$	$0$
Sinusoidalny wyprostowany dwupołówkowo	Sinusoida wyprostowana dwupołówkowo	${\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}637$	${\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707$	${\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\approx 1{,}11$	${\sqrt {2}}\approx 1{,}414$	$\approx 0{,}225$	$\approx 0{,}219$
Sinusoidalny wyprostowany jednopołówkowo	Sinusoida wyprostowana jednopołówkowo	${\frac {1}{\pi }}\approx 0{,}318$	${\frac {1}{2}}=0{,}5$	${\frac {\pi }{2}}\approx 1{,}571$	$2$	$\approx 0{,}441$	$\approx 0{,}404$
Trójkątny symetryczny	Przebieg trójkątny	${\frac {1}{2}}=0{,}5$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0{,}577$	${\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 1{,}155$	${\sqrt {3}}\approx 1{,}732$	${\sqrt {{\frac {\pi ^{4}}{96}}-1}}\approx 0{,}121$	${\sqrt {1-{\frac {96}{\pi ^{4}}}}}\approx 0{,}120$
Prostokątny symetryczny (współczynnik wypełnienia 50%)	Sygnał prostokątny	$1$	$1$	$1$	$1$	${\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{8}}-1}}\approx 0{,}483$	${\sqrt {1-{\frac {8}{\pi ^{2}}}}}\approx 0{,}435$
Piłokształtny	Sygnał piłokształtny	${\frac {1}{2}}=0{,}5$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 0{,}577$	${\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 1{,}155$	${\sqrt {3}}\approx 1{,}732$	${\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1}}\approx 0{,}803$	${\sqrt {1-{\frac {6}{\pi ^{2}}}}}\approx 0{,}626$

Bibliografia

Stanisław Bolkowski: Teoria obwodów elektrycznych. Warszawa: WNT, 2008. ISBN 83-204-3344-9.
Jerzy Szabatin: Podstawy teorii sygnałów. Warszawa: Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, 2008. ISBN 978-83-206-1331-5.