Szereg Gregory’ego

Szereg Gregory’ego – rozwinięcie funkcji arcus tangens w szereg Taylora. Szereg Gregory’ego został odkryty w 1668 roku przez Jamesa Gregory’ego oraz kilka lat później niezależnie przez Gottfrieda Leibniza. Przypadek $x=1$ jest wzorem Leibniza na obliczanie liczby $\pi$ ^[1].

Szereg[edytuj | edytuj kod]

Szereg wygląda następująco

\int _{0}^{x}\,{\frac {du}{1+u^{2}}}=\operatorname {arctg} x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots

Szereg podobny jest do rozwinięcia w szereg Taylora funkcji sinus, który w mianownikach, zamiast kolejnych liczb nieparzystych, ma silnie kolejnych liczb nieparzystych, zob. wzór Taylora.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Najwcześniejszą osobą, której można z całą pewnością przypisać znajomość szeregu, jest Madhava z Sangamagramy (ok. 1340 – ok. 1425). Pierwotna wzmianka (jak w przypadku większości prac Madhavy) zaginęła, ale kilku jego następców z założonej przez niego szkoły astronomii i matematyki w Kerali przypisuje mu to odkrycie. Konkretne wzmianki o szeregu znajdują się w dziele Tantrasangraha Nilakantha Somayaji (ok. 1500)^[2]^[3], traktacie Yuktibhāṣā Jyeṣṭhadevy (ok. 1530)^[4] oraz komentarzu Yukti-dipika autorstwa Sankary Variyara, gdzie podano go w wersetach 2.206–2.209^[5].

Odkrycie szeregu jest przypisywane Gregory’emu na podstawie dwóch publikacji z 1668 r.: Geometriae pars universalis (Powszechna część geometrii), Exercitationes geometrica (Ćwiczenia geometryczne).

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Gregory Series [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2022-06-27] (ang.).
↑ K.V.K.V. Sarma K.V.K.V., Tantrasamgraha with English translation, s. 48 [zarchiwizowane] .
↑ Tantrasamgraha, ed. K.V. Sarma, trans. V.S. Narasimhan in the Indian Journal of History of Science, issue starting Vol. 33, No. 1 of March 1998.
↑ K.V.K.V. Sarma K.V.K.V., S.S. Hariharan S.S., A book on rationales in Indian Mathematics and Astronomy – An analytic appraisal [zarchiwizowane] .
↑ C.K.C.K. Raju C.K.C.K., Cultural Foundations of Mathematics: The Nature of Mathematical Proof and the Transmission of the Calculus from India to Europe in the 16th C. CE, Pearson Education India, 2007, s. 231, ISBN 978-81-317-0871-2 .

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Carl B. Boyer, A history of mathematics, wydanie drugie, John Wiley & Sons, Inc., s. 386, 1991.
Gupta, RC (1973). „The Madhava–Gregory series”. Mathematical Education. 7: 67–70.

[1] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Gregory Series [online], mathworld.wolfram.com [dostęp 2022-06-27] (ang.).

[2] K.V.K.V. Sarma K.V.K.V., Tantrasamgraha with English translation, s. 48 [zarchiwizowane] .

[3] Tantrasamgraha, ed. K.V. Sarma, trans. V.S. Narasimhan in the Indian Journal of History of Science, issue starting Vol. 33, No. 1 of March 1998.

[4] K.V.K.V. Sarma K.V.K.V., S.S. Hariharan S.S., A book on rationales in Indian Mathematics and Astronomy – An analytic appraisal [zarchiwizowane] .

[5] C.K.C.K. Raju C.K.C.K., Cultural Foundations of Mathematics: The Nature of Mathematical Proof and the Transmission of the Calculus from India to Europe in the 16th C. CE, Pearson Education India, 2007, s. 231, ISBN 978-81-317-0871-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]