Wzór Taylora

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzór Taylora – przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej za pomocą wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora od nazwiska angielskiego matematyka Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem – w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte na tej własności może przyjąć postać szeregu zwanego szeregiem Taylora. Poniżej podane jest uogólnione twierdzenie Taylora dla funkcji o wartościach w dowolnych przestrzeniach unormowanych – w szczególności jest więc ono prawdziwe dla funkcji o wartościach rzeczywistych czy wektorowych.

Twierdzenie Taylora[edytuj]

Niech będzie przestrzenią unormowaną oraz będzie funkcją (n+1)-razy różniczkowalną na przedziale w sposób ciągły (na końcach przedziału zakłada się różniczkowalność z lewej, bądź odpowiednio, z prawej strony). Wówczas dla każdego punktu z przedziału spełniony jest wzór zwany wzorem Taylora

gdzie jest pochodną k-tego rzędu funkcji , obliczoną w punkcie  ; spełnia warunek

Funkcja nazywana jest resztą (Peano) we wzorze Taylora. W przypadku wzór Taylora nazywany jest wzorem Maclaurina.

Przybliżanie funkcji za pomocą wzoru Taylora ma charakter lokalny, tzn. odnosi się jedynie do wybranego punktu Jeżeli w zastosowaniach pojawia się potrzeba mówienia o innych wartościach, to zakłada się o nich najczęściej, że są dostatecznie bliskie punktu Sensowne wydaje się jednak pytanie o to kiedy wielomian ze wzoru Taylora przybliża funkcję ze z góry zadaną dokładnością – w tym celu potrzebne jest dokładniejsze oszacowanie reszty lub po prostu wyrażenie jej w sposób jawny.

Reszty we wzorze Taylora wyrażone w sposób jawny[edytuj]

W przypadku gdy jest ciałem liczb rzeczywistych, resztę we wzorze Taylora można wyrazić w sposób jawny. Oto niektóre ze znanych przedstawień reszty:

Reszta w postaci całkowej[edytuj]

Reszta w postaci Lagrange’a[edytuj]

Istnieje takie że

Lub inaczej, istnieje takie dla lub dla że

Uwaga: W tym przypadku założenie nie jest istotne.

Reszta w postaci Cauchy’ego[edytuj]

Istnieje takie że

Reszta w postaci Schlömilcha-Roche’a[edytuj]

Dla każdego istnieje takie że

Dla otrzymujemy postać Cauchy’ego reszty. Dla otrzymujemy postać Lagrange’a reszty.

Szacowanie reszty[edytuj]

Jeżeli jest -krotnie różniczkowalna oraz istnieje takie że

dla

to dla reszty we wzorze Taylora dla mamy oszacowanie

dla

Przy czym za wystarczy obrać supremum wartości jakie -wsza pochodna funkcji przyjmuje dla argumentów z przedziału

Jeżeli natomiast, jest -krotnie różniczkowalna oraz jest taką liczbą, że

dla

to dla reszty we wzorze Taylora dla mamy oszacowanie

dla

Szereg Taylora[edytuj]

Jeśli funkcja gdzie oraz tak jak poprzednio, jest przestrzenią unormowaną, ma w punkcie pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg

gdzie przyjęto Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji Jeżeli to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina. Samą funkcję nazywa się funkcją analityczną w punkcie jeśli dla pewnego otoczenia tego punktu powyższy szereg jest zbieżny punktowo do funkcji (funkcja jest równa swojemu rozwinięciu Taylora). Jeśli jest ona analityczna w każdym punkcie dziedziny, to nazywa się ją po prostu analityczną lub gładką (zob. regularność funkcji). Pojęcie funkcji analitycznej określonej w dziedzinie zespolonej pokrywa się z pojęciem funkcji holomorficznej. W dziedzinie rzeczywistej tak nie jest, każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna, ale nie na odwrót.

Przy założeniu istnienia pochodnych dowolnego rzędu funkcji w punkcie warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby dla danego szereg Taylora funkcji był zbieżny do jest, aby ciąg reszt we wzorze Taylora był zbieżny do zera.

Szereg (wzór) Taylora jest efektywnym narzędziem aproksymacji funkcji dostatecznie dużo razy różniczkowalnych. Często do obliczenia przybliżonej wartości funkcji (o wartościach rzeczywistych), liczy się wartość dla -tej sumy częściowej jej szeregu Taylora. Tak więc przybliżoną wartość funkcji rzeczywistej spełniającej powyższe założenia, można znaleźć, licząc kilka pierwszych wartości:

przy czym błąd jest wtedy nie większy niż:

Geneza i wyprowadzenie wzoru[edytuj]

Celem jest znalezienie dla dowolnej funkcji co najmniej razy różniczkowalnej, niebędącej skończonym wielomianem, odpowiadającego jej wielomianu stopnia , który jest równy funkcji , tzn. dziedziny obu funkcji są takie same i dla każdego argumentu należącego do tej dziedziny wartości obu funkcji dla tego argumentu są również takie same:

Weźmy teraz pewien argument należący do tej dziedziny, tzn. . Równanie jest pierwszym warunkiem równości obu tych funkcji, ale niewystarczającym. Istnieje bowiem wiele (a dokładniej nieskończenie wiele) wielomianów stopnia , które dla tego argumentu spełniają powyższą równość. Ponieważ jest to równanie funkcyjne, gdyż niewiadomą jest tutaj funkcja, a nie wartość liczbowa, jako drugi warunek równości obu funkcji może być porównanie ich pochodnych w punkcie , czyli . Mając już 2 warunki równości obu funkcji, zawężamy zbiór dopuszczalnych rozwiązań, a więc wielomianów spełniających te równania, jednak nadal jest ich dużo (nieskończenie wiele), w związku z czym dodajemy trzecie równanie analogicznie, tym razem dla pochodnych tych funkcji stopnia 2, dalej dodajemy kolejne równanie - dla pochodnych stopnia 3 itd., zawężając za każdym nowym takim warunkiem coraz bardziej zbiór dopuszczalnych rozwiązań (cały czas jest ich jednak nieskończenie wiele). Na końcu dodajemy -szy warunek porównujący pochodne -tego stopnia naszych funkcji, co uznajemy za warunek wystarczający do wyznaczenia szukanego przez nas wielomianu. Należy jednak pamiętać, że jeśli jest liczbą skończoną, tzn. zarówno ilość warunków, jak i współczynników naszego wielomianu jest skończona, wówczas znaleziony wielomian nie będzie dokładnym rozwiązaniem, a jedynie przybliżonym w stopniu . W rezultacie otrzymujemy poniższy układ równań.

Powyższy układ równań należy rozumieć jako wielomian, dla którego w punkcie równe są sobie wartości funkcji z , ich pochodne, ich pochodne stopnia 2, 3, ..., n. Wielomian oznaczmy jako , gdzie niewiadomymi są jego współczynniki . Wówczas powyższy układ równań staje się układem równań z niewiadomymi współczynnikami .

Układ ten można rozwiązać różnymi sposobami, np. za pomocą wyznaczników macierzy, stosując wzory Cramera, ale najprościej jest zastosować metodę eliminacji Gaussa, czyli podstawień elementarnych, poczynając od ostatniego -tego równania, który zawiera tylko jedną niewiadomą, i posuwając się po kolei aż do pierwszego równania, gdyż każde równanie zawiera wszystkie niewiadome obliczone we wcześniej obliczonych równaniach plus jedną nową niewiadomą, co znacznie ułatwia rozwiązanie całego układu. Po jego rozwiązaniu, patrząc na jego rozwiązania, nietrudno zauważyć, że każde takie rozwiązanie sprowadzić można do postaci:

Na koniec obliczamy wartość funkcji , a więc już dla dowolnego należącego do dziedziny, czyli w oparciu o wielomian , w którym za kolejne jego współczynniki podstawiamy obliczone w powyższym układzie równań wyrażenia.

Po podstawieniu za wszystkie współczynniki wyrażeń obliczonych we wcześniejszym układzie równań i uproszczeniu całego wyrażenia otrzymujemy wzór Taylora.

Pamiętajmy, że w celu otrzymania dokładnego wielomianu musi dążyć do nieskończoności, czyli , tzn. zarówno ilość warunków w układzie równań, jak i współczynników naszego wielomianu musi być nieskończona.

Rozwinięcia niektórych funkcji w szereg Maclaurina[edytuj]

Wszystkie poniższe rozwinięcia są poprawne także po rozszerzeniu dziedziny funkcji na liczby zespolone – domyślnie jest więc liczbą zespoloną, chyba że zaznaczono inaczej.

Pierwiastek kwadratowy[edytuj]

Funkcja wykładnicza i logarytm naturalny[edytuj]

-1< x ≤1

Szereg geometryczny[edytuj]

Uogólniony dwumian Newtona[edytuj]

gdzie

Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne[edytuj]

Im większy stopień wielomianu interpolacyjnego we wzorze Taylora, tym lepiej przybliża on wyjściową funkcję. Na rysunku: rozwinięcia funkcji sinus stopnia 1, 3, 5, 7, 9, 11 oraz 13 odpowiednio.
gdzie oznaczają liczby Bernoulliego.
gdzie oznaczają liczby Eulera.

Funkcje hiperboliczne i area hiperboliczne[edytuj]

Funkcja W Lamberta[edytuj]

Uogólnione twierdzenie Taylora[edytuj]

Prawdziwe jest także następujące uogólnienie twierdzenie Taylora, zwane również twierdzeniem Taylora.

Niech szereg potęgowy będzie zbieżny dla i niech oznacza sumę tego szeregu na przedziale Jeżeli to funkcję można rozwinąć w punkcie w szereg potęgowy, który jest zbieżny dla przy czym

Przykłady obliczania[edytuj]

Przykład 1[edytuj]

Znaleźć sumę częściową szeregu Maclaurina funkcji,

będącą wielomianem stopnia 6.

Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu i cosinusa

podstawiamy odpowiednio, upraszczamy, pomijając jednomiany stopnia wyższego od 6:

Przykład 2[edytuj]

Znaleźć postać szeregu Maclaurina funkcji

Korzystając ze znanych rozwinięć w szereg Maclaurina logarytmu funkcji wykładniczej i cosinusa

Planujemy postać szeregu Maclaurina:

Mnożymy wyrażenie przez

Porządkujemy odpowiednie współczynniki:

Porównując współczynniki, dostajemy:

Przykład zastosowania[edytuj]

Obliczyć w przybliżeniu

jest znany, podobnie jak wartości kolejnych pochodnych funkcji w punkcie x = 9, tak więc:

Przy czym błąd jest nie większy niż:

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. trzecie fotograficzne. T. I. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1966, s. 201–218.
  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  • Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.
  • Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa, Poznań: PWN, 2000. ISBN 83-01-02846-7.