Silnia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wybrane wartości silni
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5 040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
16 20 922 789 888 000
17 355 687 428 096 000
18 6 402 373 705 728 000
19 121 645 100 408 832 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 1,551 121 004 × 1025
50 3,041 409 320 × 1064
70 1,197 857 167 × 10100
100 9,332 621 544 × 10157
450 1,733 368 733 × 101000
1000 4,023 872 601 × 102567
10 000 2,846 259 681 × 1035 659
100 000 2,824 229 408 × 10456 573
1 000 000 8,263 931 688 × 105 565 708
10 000 000 1,202 423 401 × 1065 657 059
10100 109,956 570 552 × 10101
Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp. Zapis n!, 2! itd. odczytujemy „n silnia”,„dwa silnia” itd.

Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiajace się w różnych działach matematyki od analizy matematycznej (np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać k!) przez geometrię n-wymiarową (np. stosunek miary n-wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy n!) na kombinatoryce skończywszy (np. liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest równa n!).

Definicja formalna[edytuj]

Funkcję \cdot\; !\colon \mathbb{N}_{0} \to \mathbb{N}_{+} definiuje się następująco:

n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{dla }n\geqslant1.

Wartość 0! określa się osobno:

0! = 1.

Definicja rekurencyjna silni ma postać:


  n!=\begin{cases}
    1 & \mbox{ dla }n=0 \\
    n\cdot(n-1)! & \mbox{ dla }n\geqslant1
   \end{cases}

Przykłady:

4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24
5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120
6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720

Wzór Stirlinga[edytuj]

Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:

n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

\ln n! \approx n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln (2\pi n) \

Przydatne jest również oszacowanie:

n!=o(n^n) \

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

n!  =  \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\alpha_n}

gdzie

\frac{1}{12n+1} \leqslant \alpha_n \leqslant \frac{1}{12n}

Funkcja gamma[edytuj]

 Osobny artykuł: Funkcja Γ.

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia

\Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z).

Ponieważ Γ(1)=1, więc z powyższego wynika

\Gamma(n+1)=n!

dla wszystkich liczb naturalnych n.

Funkcja Γ jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia podwójna n!![edytuj]

Silnią podwójną liczby naturalnej n określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do n. Silnię podwójną oznacza się n!!.

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:


  n!!=
   \begin{cases}
    1 & \mbox{ dla }n=0\mbox{ lub }n=1  \\
    n\cdot(n-2)!! & \mbox{ dla }n\geqslant 2
   \end{cases}

Przykład:

8!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 384
9!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945

Własności podwójnej silni:

n!=n!!(n-1)!!
(2n)!!=2^nn!
(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}

zależność od funkcji gamma:

\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}\,\!

Silnia wielokrotna[edytuj]

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną n!!! oraz ogólnie silnie k-tą, którą oznaczamy jako n!(k). Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:


  n!^{(k)}=
   \begin{cases}
    1 & \mbox{ gdy } n=0   \\
    n & \mbox{ gdy }0<n\leq k   \\
    n\cdot(n-k)!^{(k)} & \mbox{ gdy }n > k
   \end{cases}

Rozkład silni na czynniki pierwsze[edytuj]

Lemat

Jeżeli liczba n! rozkłada się na czynniki pierwsze:

n!=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{ \alpha_{i} }=p_{1}^{ \alpha_{1} } \cdot p_{2}^{ \alpha_{2} } \cdot \ldots  \cdot p_{k}^{ \alpha_{k} }

to

\mbox{ord}_{p_i}(n!) = \sum_{j=1}^{ \left\lfloor \log_{p_{i}}n\right\rfloor }  \left\lfloor  \frac{n}{p_{i}^{j}} \right\rfloor

tzn. liczba pierwsza p_{i} pojawia się z wykładnikiem:

\alpha_{i} = \sum_{j=1}^{ \left\lfloor \log_{p_{i}}n\right\rfloor }  \left\lfloor  \frac{n}{p_{i}^{j}} \right\rfloor

gdzie \lfloor x \rfloor oznacza część całkowitą liczby x.

Problem ustalenia liczby zer na końcu zapisu dziesiętnego silni[edytuj]

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym n!, przy czym n jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

f(n) = \sum_{i=1}^k \left \lfloor \frac{n}{5^i} \right \rfloor =
\left \lfloor \frac{n}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{5^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{5^3} \right \rfloor + \cdots + \left \lfloor \frac{n}{5^k} \right \rfloor, \,

gdzie k musi spełniać warunek


5^{k} \leq n < 5^{k+1},\,

Na przykład: 53 > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

\left \lfloor \frac{26}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{26}{5^2} \right \rfloor = 5 + 1 = 6\,

zerami. Jeżeli n < 5, nierówności są spełnione przez k = 0; w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne[edytuj]