Silnia
0 | 1 |
1 | 1 |
2 | 2 |
3 | 6 |
4 | 24 |
5 | 120 |
6 | 720 |
7 | 5040 |
8 | 40 320 |
9 | 362 880 |
10 | 3 628 800 |
11 | 39 916 800 |
12 | 479 001 600 |
13 | 6 227 020 800 |
14 | 87 178 291 200 |
15 | 1 307 674 368 000 |
16 | 20 922 789 888 000 |
17 | 355 687 428 096 000 |
18 | 6 402 373 705 728 000 |
19 | 121 645 100 408 832 000 |
20 | 2 432 902 008 176 640 000 |
25 | ∼1,551 121 004 · 1025 |
50 | ~3,041 409 32 · 1064 |
70 | ~1,197 857 167 · 10100 |
100 | ~9,332 621 544 · 10157 |
450 | ~1,733 368 733 · 101000 |
1000 | ~4,023 872 601 · 102567 |
10 000 | ~2,846 259 681 · 1035 659 |
100 000 | ~2,824 229 408 · 10456 573 |
1 000 000 | ~8,263 931 688 · 105 565 708 |
10 000 000 | ~1,202 423 401 · 1065 657 059 |
10100 | ~109,956 570 552 · 10101 |

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż [1]. Oznaczenie dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp. Zapis itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.
Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiające się w różnych działach matematyki od analizy matematycznej (np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać ) przez geometrię -wymiarową (np. stosunek miary -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy ), na kombinatoryce skończywszy (np. liczba wszystkich permutacji zbioru -elementowego jest równa ).
Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585[2].
Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]
Funkcję definiuje się następująco:
Wartość 0! określa się osobno:[3]
Definicja rekurencyjna silni ma postać:
Przykłady:
Wzór Stirlinga[edytuj | edytuj kod]
Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:
Wynika z niego także postać logarytmu silni:
Przydatne jest również oszacowanie:
Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:
gdzie:
Funkcja gamma[edytuj | edytuj kod]
- Osobny artykuł:
Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia
Ponieważ więc z powyższego wynika
dla wszystkich liczb naturalnych
Funkcja jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.
Silnia podwójna[edytuj | edytuj kod]
Silnią podwójną liczby naturalnej określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do Silnię podwójną oznacza się .
Rekurencyjna definicja silni podwójnej:
Przykład:
Własności podwójnej silni:
zależność od funkcji gamma:
- więc:
Silnia wielokrotna[edytuj | edytuj kod]
Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną oraz ogólnie silnie -tą, którą oznaczamy jako Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:
Rozkład silni na czynniki pierwsze[edytuj | edytuj kod]
Lemat[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli liczba rozkłada się na czynniki pierwsze:
to
tzn. liczba pierwsza pojawia się z wykładnikiem:
gdzie oznacza część całkowitą liczby
Problem ustalenia liczby zer na końcu zapisu dziesiętnego silni[edytuj | edytuj kod]
Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym przy czym jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru
gdzie musi spełniać warunek
Na przykład: 5³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się
- zerami.
Jeżeli nierówności są spełnione przez w tym wypadku suma ta daje wynik 0.
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Silnia, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-21] .
- ↑ Eric W. Weisstein , Factorion, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2017-05-25] (ang.).
- ↑ Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0 .
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.
Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]
- Eric W. Weisstein , Factorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- http://factorielle.free.fr (ang. • fr. • cz.)