Silnia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Wybrane wartości silni
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
16 20 922 789 888 000
17 355 687 428 096 000
18 6 402 373 705 728 000
19 121 645 100 408 832 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 ∼1,551 121 004 · 1025
50 ~3,041 409 32 · 1064
70 ~1,197 857 167 · 10100
100 ~9,332 621 544 · 10157
450 ~1,733 368 733 · 101000
1000 ~4,023 872 601 · 102567
10 000 ~2,846 259 681 · 1035 659
100 000 ~2,824 229 408 · 10456 573
1 000 000 ~8,263 931 688 · 105 565 708
10 000 000 ~1,202 423 401 · 1065 657 059
10100 ~109,956 570 552 · 10101

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż [1]. Zapis itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiające się w różnych działach matematyki od analizy matematycznej (np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać ) przez geometrię -wymiarową (np. stosunek miary -wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy ), na kombinatoryce skończywszy (np. liczba wszystkich permutacji zbioru -elementowego jest równa ).

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Silnia jest funkcją liczbową, której dziedzinąliczby naturalne z zerem, a przeciwdziedziną liczby naturalne bez zera

Silnia liczby naturalnej n jest to iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż n

Można to napisać bardziej zwięźle korzystając z notacji Pi oznaczającej iloczyn ciągu czynników

Wartość 0! określa się osobno[2]:

Definicja rekurencyjna silni ma postać:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Historia[edytuj | edytuj kod]

Oznaczenie dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Obliczanie[edytuj | edytuj kod]

Ze względu na szybki wzrost wartości silni w obliczeniach komputerowych może wystąpić przekroczenie zakresu liczb całkowitych. Dla liczb całkowitych wystąpi to już dla 13!

n = 1 	n! = 1
n = 2 	n! = 2
n = 3 	n! = 6
n = 4 	n! = 24
n = 5 	n! = 120
n = 6 	n! = 720
n = 7 	n! = 5040
n = 8 	n! = 40320
n = 9 	n! = 362880
n = 10 	n! = 3628800
n = 11 	n! = 39916800
n = 12 	n! = 479001600
n = 13 	int overflow

Przybliżona wartość[edytuj | edytuj kod]

Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

Przydatne jest również oszacowanie:

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

gdzie:

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Wzrost[edytuj | edytuj kod]

Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Wzrost funkcja silnia jest szybszy niż wzrost wykładniczy, ale wolniejszy niż podwójnej funkcja wykładniczej(ang.)[3]. Tempo wzrostu jest podobne do ale wolniejsze o czynnik wykładniczy.

Rozkład silni na czynniki pierwsze[edytuj | edytuj kod]

Lemat[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli liczba rozkłada się na czynniki pierwsze:

to

tzn. liczba pierwsza pojawia się z wykładnikiem:

gdzie oznacza część całkowitą liczby

Liczba zer na końcu zapisu dziesiętnego silni[edytuj | edytuj kod]

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym przy czym jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

gdzie musi spełniać warunek

Na przykład: 5³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

zerami.

Jeżeli nierówności są spełnione przez w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Powiązane funkcje i sekwencje[edytuj | edytuj kod]

Wykres silni, funkcji gamma i aproksymacji Stirlinga

Factorion[edytuj | edytuj kod]

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585[4].

Funkcja gamma[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Funkcja Γ.

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia

Ponieważ więc z powyższego wynika

dla wszystkich liczb naturalnych

Funkcja jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia wielokrotna[edytuj | edytuj kod]

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną oraz ogólnie silnie -tą, którą oznaczamy jako Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

Silnia podwójna[edytuj | edytuj kod]

Silnią podwójną liczby naturalnej określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do Silnię podwójną oznacza się

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

Przykład:

Własności podwójnej silni:

zależność od funkcji gamma:

więc:

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Silnia, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-21].
  2. Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 2, ISBN 978-83-940902-1-0.
  3. Peter J. Cameron: Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms. Cambridge University Press, 1994, s. 12–14. ISBN 978-0-521-45133-8. Cytat: 2.4: Orders of magnitude.
  4. Eric W. Weisstein, Factorion, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2017-05-25] (ang.).

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]