Silnia

Wybrane wartości silni

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	1,551 121 004 × 1025
50	3,041 409 320 × 1064
70	1,197 857 167 × 10100
100	9,332 621 544 × 10157
450	1,733 368 733 × 101000
1000	4,023 872 601 × 102567
10 000	2,846 259 681 × 1035 659
100 000	2,824 229 408 × 10456 573
1 000 000	8,263 931 688 × 105 565 708
10 000 000	1,202 423 401 × 1065 657 059
10100	109,956 570 552 × 10101

Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Silnią liczby naturalnej n (w notacji matematycznej: n!, co czytamy „n silnia”) nazywamy iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! wprowadził w 1808 roku Christian Kramp.

Definicja

Funkcję $\cdot\; !\colon \mathbb{N}_{0} \to \mathbb{N}_{+}$ definiuje się następująco:

$n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{dla }n\geqslant1.\,\!$

Wzór ten nie podaje wartości 0!, określamy ją osobno:

$0! = 1 \$.

Poniżej definicja rekurencyjna

$n!=\begin{cases} 1 & \mbox{ dla }n=0 \\ n\cdot(n-1)! & \mbox{ dla }n\geqslant1 \end{cases}$

Przykłady:

4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120.

6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720.

Wartość n! pozwala określić liczbę możliwych permutacji n elementów.

Obliczenia przybliżone

Silnia pojawia się w tak wielu praktycznych zastosowaniach matematyki (rachunek prawdopodobieństwa, statystyka), że szczególnej wagi nabiera problem szybkiego wyznaczania silni dużych liczb. Podane wyżej określenia silni nie nadają się do tego celu, dlatego na ogół wykorzystuje się przybliżony wzór Stirlinga:

$n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

$\ln n! \approx n\ln n - n + \frac{1}{2} \ln (2\pi n) \$

Przydatne jest również oszacowanie:

$n!=o(n^n) \$

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

$n! = \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\alpha_n}$

gdzie

$\frac{1}{12n+1} \leqslant \alpha_n \leqslant \frac{1}{12n}$

Uogólnienia

Funkcja gamma

Uogólnieniem pojęcia silni jest funkcja gamma.

Silnia podwójna n!!

Silnią podwójną liczby naturalnej n określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do n. Silnię podwójną oznacza się n!!.

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

$n!!= \begin{cases} 1 & \mbox{ dla }n=0\mbox{ lub }n=1 \\ n\cdot(n-2)!! & \mbox{ dla }n\geqslant 2 \end{cases}$

Przykład:

8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384

9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945

Własności podwójnej silni:

$n!=n!!(n-1)!!\,\!$

$(2n)!!=2^nn!\,\!$

$(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}\,\!$

zależność od funkcji gamma:

$\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}\,\!$

Silnia wielokrotna

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną n!!! oraz ogólnie silnie k-tą, którą oznaczamy jako n!^(k). Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

$n!^{(k)}= \begin{cases} 1 & \mbox{ gdy }0\leqslant n<k \\ n\cdot(n-k)!^{(k)} & \mbox{ gdy }n\geqslant k \end{cases}$

Rozkład silni na czynniki pierwsze

Lemat

Jeżeli liczba $n!$ rozkłada się na czynniki pierwsze:

$n!=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{ \alpha_{i} }=p_{1}^{ \alpha_{1} } \cdot p_{2}^{ \alpha_{2} } \cdot \ldots \cdot p_{k}^{ \alpha_{k} }$

to

$\mbox{ord}_{p_i}(n!) = \sum_{j=1}^{ \left\lfloor \log_{p_{i}}n\right\rfloor } \left\lfloor \frac{n}{p_{i}^{j}} \right\rfloor$

tzn. liczba pierwsza $p_{i}$ pojawia się z wykładnikiem:

$\alpha_{i} = \sum_{j=1}^{ \left\lfloor \log_{p_{i}}n\right\rfloor } \left\lfloor \frac{n}{p_{i}^{j}} \right\rfloor$

gdzie $\lfloor x \rfloor$ oznacza część całkowitą liczby $x$.

Problem ustalenia liczby zer na końcu zapisu dziesiętnego silni

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym n!, przy czym n jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

$f(n) = \sum_{i=1}^k \left \lfloor \frac{n}{5^i} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{n}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{5^2} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{5^3} \right \rfloor + \cdots + \left \lfloor \frac{n}{5^k} \right \rfloor, \,$

gdzie k musi spełniać warunek

$5^{k} \leq n < 5^{k+1},\,$

Na przykład: 5³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

$\left \lfloor \frac{26}{5} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{26}{5^2} \right \rfloor = 5 + 1 = 6\,$

zerami. Jeżeli n < 5, nierówności są spełnione przez k = 0; w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Zobacz też

• podsilnia
• symbol Newtona
• kombinatoryka
• wariacja
• permutacja
• kombinacja

Bibliografia

• Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, ss. 219.

Linki zewnętrzne

• Silnia (ang.) w encyklopedii MathWorld
• http://factorielle.free.fr (ang.), (fr.), (cz.)