Silnia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wybrane wartości silni
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40 320
9 362 880
10 3 628 800
11 39 916 800
12 479 001 600
13 6 227 020 800
14 87 178 291 200
15 1 307 674 368 000
16 20 922 789 888 000
17 355 687 428 096 000
18 6 402 373 705 728 000
19 121 645 100 408 832 000
20 2 432 902 008 176 640 000
25 1,551 121 004 · 1025
50 3,041 409 32 · 1064
70 1,197 857 167 · 10100
100 9,332 621 544 · 10157
450 1,733 368 733 · 101000
1000 4,023 872 601 · 102567
10 000 2,846 259 681 · 1035 659
100 000 2,824 229 408 · 10456 573
1 000 000 8,263 931 688 · 105 565 708
10 000 000 1,202 423 401 · 1065 657 059
10100 109,956 570 552 · 10101
Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp. Zapis n!, 2! itd. odczytujemy „n silnia”,„dwa silnia” itd.

Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiajace się w różnych działach matematyki od analizy matematycznej (np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać k!) przez geometrię n-wymiarową (np. stosunek miary n-wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy n!), na kombinatoryce skończywszy (np. liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest równa n!).

Definicja formalna[edytuj]

Funkcję definiuje się następująco:

Wartość 0! określa się osobno:

Definicja rekurencyjna silni ma postać:

Przykłady:

Wzór Stirlinga[edytuj]

Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

Przydatne jest również oszacowanie:

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

gdzie

Funkcja gamma[edytuj]

 Osobny artykuł: Funkcja Γ.

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia

Ponieważ Γ(1)=1, więc z powyższego wynika

dla wszystkich liczb naturalnych n.

Funkcja Γ jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia podwójna n!![edytuj]

Silnią podwójną liczby naturalnej n określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do n. Silnię podwójną oznacza się n!!.

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

Przykład:

Własności podwójnej silni:

zależność od funkcji gamma:

Silnia wielokrotna[edytuj]

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną n!!! oraz ogólnie silnie k-tą, którą oznaczamy jako n!(k). Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

Rozkład silni na czynniki pierwsze[edytuj]

Lemat[edytuj]

Jeżeli liczba rozkłada się na czynniki pierwsze:

to

tzn. liczba pierwsza pojawia się z wykładnikiem:

gdzie oznacza część całkowitą liczby .

Problem ustalenia liczby zer na końcu zapisu dziesiętnego silni[edytuj]

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym n!, przy czym n jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

gdzie k musi spełniać warunek

Na przykład: 53 > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

zerami. Jeżeli n < 5, nierówności są spełnione przez k = 0; w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne[edytuj]