Silnia

Wybrane wartości silni

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	∼1,551 121 004 · 1025
50	~3,041 409 32 · 1064
70	~1,197 857 167 · 10100
100	~9,332 621 544 · 10157
450	~1,733 368 733 · 101000
1000	~4,023 872 601 · 102567
10 000	~2,846 259 681 · 1035 659
100 000	~2,824 229 408 · 10456 573
1 000 000	~8,263 931 688 · 105 565 708
10 000 000	~1,202 423 401 · 1065 657 059
10100	~109,956 570 552 · 10101

Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych dodatnich nie większych niż $n$. Oznaczenie $n!$ dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp. Zapis $n!,$ $2!$ itd. odczytujemy „n silnia”, „dwa silnia” itd.

Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiające się w różnych działach matematyki od analizy matematycznej (np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać $k!$) przez geometrię $n$-wymiarową (np. stosunek miary $n$-wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy $n!$), na kombinatoryce skończywszy (np. liczba wszystkich permutacji zbioru $n$-elementowego jest równa $n!$).

Liczba, która jest równa sumie silni swoich cyfr zapisu dziesiętnego, w języku angielskim nosi nazwę factorion. Istnieją tylko cztery liczby naturalne o tej własności: 1, 2, 145 i 40585.

Definicja formalna

Funkcję $\cdot \;!\colon \mathbb {N} _{0}\to \mathbb {N} _{+}$ definiuje się następująco:

$n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{dla }}n\geqslant 1.$

Wartość 0! określa się osobno:

$0!=1.$

Definicja rekurencyjna silni ma postać:

$n!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\[2pt]n\cdot (n-1)!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}$

Przykłady:

$4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$

$5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$

$6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720$

Wzór Stirlinga

Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

$\ln n!\approx n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n).$

Przydatne jest również oszacowanie:

$n!=o(n^{n}).$

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

$n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\alpha _{n}},$

gdzie:

${\frac {1}{12n+1}}\leqslant \alpha _{n}\leqslant {\frac {1}{12n}}.$

Funkcja gamma

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia

$\Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).$

Ponieważ $\Gamma (1)=1,$ więc z powyższego wynika

$\Gamma (n+1)=n!$

dla wszystkich liczb naturalnych $n.$

Funkcja $\Gamma$ jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia podwójna

Silnią podwójną liczby naturalnej $n$ określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do $n.$ Silnię podwójną oznacza się $n!!$.

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

$n!!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0{\mbox{ lub }}n=1\\[2pt]n\cdot (n-2)!!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 2\end{cases}}$

Przykład:

$8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384$

$9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945$

Własności podwójnej silni:

$n!=n!!(n-1)!!$

$(2n)!!=2^{n}n!$

$(2n+1)!!={\frac {(2n+1)!}{(2n)!!}}={\frac {(2n+1)!}{2^{n}n!}}$

zależność od funkcji gamma:

$\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}},$ więc:

$\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {2^{n}}{\sqrt {\pi }}}\right)=(2n-1)!!$

Silnia wielokrotna

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną $n!!!$ oraz ogólnie silnie $k$-tą, którą oznaczamy jako $n!^{(k)}.$ Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

$n!^{(k)}={\begin{cases}1&{\mbox{ gdy }}n=0\\[2pt]n&{\mbox{ gdy }}0<n\leqslant k\\[2pt]n\cdot (n-k)!^{(k)}&{\mbox{ gdy }}n>k\end{cases}}$

Rozkład silni na czynniki pierwsze

Lemat

Jeżeli liczba $n!$ rozkłada się na czynniki pierwsze:

$n!=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}},$

to

${\mbox{ord}}_{p_{i}}(n!)=\sum _{j=1}^{\left\lfloor \log _{p_{i}}n\right\rfloor }\left\lfloor {\frac {n}{p_{i}^{j}}}\right\rfloor ,$

tzn. liczba pierwsza $p_{i}$ pojawia się z wykładnikiem:

$\alpha _{i}=\sum _{j=1}^{\left\lfloor \log _{p_{i}}n\right\rfloor }\left\lfloor {\frac {n}{p_{i}^{j}}}\right\rfloor ,$

gdzie $\lfloor x\rfloor$ oznacza część całkowitą liczby $x.$

Problem ustalenia liczby zer na końcu zapisu dziesiętnego silni

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym $n!,$ przy czym $n$ jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

$f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5^{1}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,$

gdzie $k$ musi spełniać warunek

$5^{k}\leqslant n<5^{k+1}.$

Na przykład: 5³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

$\left\lfloor {\frac {26}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26}{5^{2}}}\right\rfloor =5+1=6$ zerami.

Jeżeli $n<5,$ nierówności są spełnione przez $k=0;$ w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Bibliografia

• Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Factorial, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• http://factorielle.free.fr (ang. • fr. • cz.)