Silnia

Wybrane wartości silni

$n$$n$	$n!$$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000
25	1,551 121 004 × 1025
50	3,041 409 320 × 1064
70	1,197 857 167 × 10100
100	9,332 621 544 × 10157
450	1,733 368 733 × 101000
1000	4,023 872 601 × 102567
10 000	2,846 259 681 × 1035 659
100 000	2,824 229 408 × 10456 573
1 000 000	8,263 931 688 × 105 565 708
10 000 000	1,202 423 401 × 1065 657 059
10100	109,956 570 552 × 10101

Wykres logarytmu naturalnego silni ln(x!)

Silnia liczby naturalnej n – iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n. Oznaczenie n! dla silni wprowadził w 1808 roku Christian Kramp. Zapis n!, 2! itd. odczytujemy „n silnia”,„dwa silnia” itd.

Silnia jest funkcją pozwalającą zapisać w skondensowany sposób wzory i zależności pojawiajace się w różnych działach matematyki od analizy matematycznej (np. mianownik każdego składnika wzoru Taylora ma postać k!) przez geometrię n-wymiarową (np. stosunek miary n-wymiarowego równoległościanu do miary sympleksu rozpiętego na wszystkich wierzchołkach równoległościanu z wyjątkiem jednego jest równy n!), na kombinatoryce skończywszy (np. liczba wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest równa n!).

Definicja formalna

Funkcję $\cdot \;!\colon \mathbb {N} _{0}\to \mathbb {N} _{+}$$\cdot \;!\colon {\mathbb {N}}_{{0}}\to {\mathbb {N}}_{{+}}$ definiuje się następująco:

$n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{dla }}n\geqslant 1$$n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{dla }n\geqslant1$.

Wartość 0! określa się osobno:

$0!=1$$0! = 1$.

Definicja rekurencyjna silni ma postać:

$n!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\n\cdot (n-1)!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}$$n!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0\\n\cdot (n-1)!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 1\end{cases}}$

Przykłady:

$4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$

$5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

$6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720$$6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$

Wzór Stirlinga

Do obliczeń praktycznych zazwyczaj zamiast powyżej zdefiniowanej silni wykorzystuje się jej przybliżenie w postaci wzoru Stirlinga:

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$

Wynika z niego także postać logarytmu silni:

$\ln n!\approx n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)\$$\ln n!\approx n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)\$

Przydatne jest również oszacowanie:

$n!=o(n^{n})\$$n!=o(n^{n})\$

Dokładniejsza od wzoru Stirlinga jest formuła:

$n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\alpha _{n}}$$n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{{\alpha _{n}}}$

gdzie

${\frac {1}{12n+1}}\leqslant \alpha _{n}\leqslant {\frac {1}{12n}}$${\frac {1}{12n+1}}\leqslant \alpha _{n}\leqslant {\frac {1}{12n}}$

Funkcja gamma

Uogólnieniem silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych jest funkcja Γ, która spełnia

$\Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).$$\Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z).$

Ponieważ Γ(1)=1, więc z powyższego wynika

$\Gamma (n+1)=n!$$\Gamma (n+1)=n!$

dla wszystkich liczb naturalnych n.

Funkcja Γ jest jedyną funkcją meromorficzną logarytmicznie wypukłą będącą uogólnieniem silni. W punktach całkowitych niedodatnich ma bieguny.

Silnia podwójna n!!

Silnią podwójną liczby naturalnej n określa się iloczyn liczb naturalnych z krokiem 2 do n. Silnię podwójną oznacza się n!!.

Rekurencyjna definicja silni podwójnej:

$n!!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0{\mbox{ lub }}n=1\\n\cdot (n-2)!!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 2\end{cases}}$$n!!={\begin{cases}1&{\mbox{ dla }}n=0{\mbox{ lub }}n=1\\n\cdot (n-2)!!&{\mbox{ dla }}n\geqslant 2\end{cases}}$

Przykład:

$8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384$$8!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 384$

$9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945$$9!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945$

Własności podwójnej silni:

$n!=n!!(n-1)!!$$n!=n!!(n-1)!!$

$(2n)!!=2^{n}n!$$(2n)!!=2^nn!$

$(2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}$$(2n+1)!!={(2n+1)!\over(2n)!!}={(2n+1)!\over2^nn!}$

zależność od funkcji gamma:

$\Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}{(2n-1)!! \over 2^{n}}\,\!$$\Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt \pi }{(2n-1)!! \over 2^{n}}\,\!$

Silnia wielokrotna

Silnia podwójna jest szczególnym przypadkiem silni wielokrotnej. Podobnie można zdefiniować silnię potrójną n!!! oraz ogólnie silnie k-tą, którą oznaczamy jako n!^(k). Jej definicję rekurencyjną przedstawia wzór:

$n!^{(k)}={\begin{cases}1&{\mbox{ gdy }}n=0\\n&{\mbox{ gdy }}0<n\leq k\\n\cdot (n-k)!^{(k)}&{\mbox{ gdy }}n>k\end{cases}}$$n!^{{(k)}}={\begin{cases}1&{\mbox{ gdy }}n=0\\n&{\mbox{ gdy }}0<n\leq k\\n\cdot (n-k)!^{{(k)}}&{\mbox{ gdy }}n>k\end{cases}}$

Rozkład silni na czynniki pierwsze

Lemat

Jeżeli liczba $n!$$n!$ rozkłada się na czynniki pierwsze:

$n!=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot p_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}}$$n!=\prod _{{i=1}}^{{k}}p_{{i}}^{{\alpha _{{i}}}}=p_{{1}}^{{\alpha _{{1}}}}\cdot p_{{2}}^{{\alpha _{{2}}}}\cdot \ldots \cdot p_{{k}}^{{\alpha _{{k}}}}$

to

${\mbox{ord}}_{p_{i}}(n!)=\sum _{j=1}^{\left\lfloor \log _{p_{i}}n\right\rfloor }\left\lfloor {\frac {n}{p_{i}^{j}}}\right\rfloor$${\mbox{ord}}_{{p_{i}}}(n!)=\sum _{{j=1}}^{{\left\lfloor \log _{{p_{{i}}}}n\right\rfloor }}\left\lfloor {\frac {n}{p_{{i}}^{{j}}}}\right\rfloor$

tzn. liczba pierwsza $p_{i}$$p_{{i}}$ pojawia się z wykładnikiem:

$\alpha _{i}=\sum _{j=1}^{\left\lfloor \log _{p_{i}}n\right\rfloor }\left\lfloor {\frac {n}{p_{i}^{j}}}\right\rfloor$$\alpha _{{i}}=\sum _{{j=1}}^{{\left\lfloor \log _{{p_{{i}}}}n\right\rfloor }}\left\lfloor {\frac {n}{p_{{i}}^{{j}}}}\right\rfloor$

gdzie $\lfloor x\rfloor$$\lfloor x\rfloor$ oznacza część całkowitą liczby $x$$x$.

Problem ustalenia liczby zer na końcu zapisu dziesiętnego silni

Liczbę zer na końcu w zapisie dziesiętnym n!, przy czym n jest liczbą naturalną, można ustalić na podstawie wzoru

$f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,\,$$f(n)=\sum _{{i=1}}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,\,$

gdzie k musi spełniać warunek

$5^{k}\leq n<5^{k+1},\,$$5^{{k}}\leq n<5^{{k+1}},\,$

Na przykład: 5³ > 26 i 26! = 403291461126605635584000000 kończy się

$\left\lfloor {\frac {26}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26}{5^{2}}}\right\rfloor =5+1=6\,$$\left\lfloor {\frac {26}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {26}{5^{2}}}\right\rfloor =5+1=6\,$

zerami. Jeżeli n < 5, nierówności są spełnione przez k = 0; w tym wypadku suma ta daje wynik 0.

Zobacz też

• podsilnia
• symbol Newtona
• kombinatoryka
• wariacja
• permutacja
• kombinacja

Bibliografia

• Thomas Koshy, Discrete Mathematics with Applications, Elsevier Publications 2006, s. 219.

Linki zewnętrzne

• Silnia (ang.) w encyklopedii MathWorld
• http://factorielle.free.fr (ang.), (fr.), (cz.)