Funkcje cyklometryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

  • arcus sinus (arcsin) jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus cosinus (arccos) jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus tangens (arctg) jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus cotangens (arcctg) jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus secans (arcsec) jest funkcją odwrotną do funkcji secans rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).
  • arcus cosecans (arccsc) jest funkcją odwrotną do funkcji cosecans rozpatrywanej na przedziale W przedziale tym cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (czyli obrazie przedziału przez funkcję ).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

  • gdy
  • gdy
  • gdy
  • gdy
  • gdy
  • gdy

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów możemy nie stawiać, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

  • arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów: Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną
  • arcus cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów: Jej dziedziną jest a przeciwdziedziną

Zależności między funkcjami cyklometrycznymi[edytuj | edytuj kod]

Argumenty ujemne[edytuj | edytuj kod]

Odwrotności argumentów[edytuj | edytuj kod]

Pochodne i całki[edytuj | edytuj kod]

Pochodne[edytuj | edytuj kod]


Całki[edytuj | edytuj kod]

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Oto wykresy kolejnych funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych, które parami są symetryczne względem prostej

Funkcje:
Funkcje:
Funkcje:
Funkcje: