Test Dickeya-Fullera

Test Dickeya-Fullera (skrótowo test DF) – test sprawdzający obecność pierwiastka jednostkowego w modelu autoregresyjnym. Opracowany w 1979 roku przez D.A. Dickeya i W.A. Fullera^[1].

Użycie

Prosty model AR(1) ma postać

y_{t}=\rho y_{t-1}+u_{t},

gdzie $y_{t}$ to zmienna objaśniana, $t$ indeks czasowy, $\rho$ współczynnik, a $u_{t}$ błąd oszacowania (biały szum)^[2]. Pierwiastek jednostkowy występuje, gdy $\rho =1.$ W takim wypadku model jest niestacjonarny.

Model regresji może zostać zapisany pod postacią

\nabla y_{t}=(\rho -1)y_{t-1}+u_{t}=\delta y_{t-1}+u_{t},

gdzie $\nabla$ jest operatorem pierwszych różnic. Możliwa jest estymacja takiego modelu, testowanie na obecność pierwiastka jednostkowego jest równoważne testowaniu czy $\delta =0$ (gdzie $\delta =\rho -1$ ). Do wyznaczenia wartości krytycznych nie można użyć jednak standardowego rozkładu t-Studenta, gdyż wartość $t$ wyestymowanego współczynnika przy $Y_{t-1}$ nie wpisuje się w rozkład $t$ nawet w dużych próbkach, nie ma asymptotycznego rozkładu normalnego^[2]. Statystyka $\tau$ ta ma jednak własny rozkład nazywany rozkładem Dickeya-Fullera (także rozkładem tau)^[2].

Występują trzy główne warianty testu:

1. na obecność pierwiastka jednostkowego:

\nabla y_{t}=\delta y_{t-1}+u_{t},

2. na obecność pierwiastka jednostkowego z dryftem:

\nabla y_{t}=a_{0}+\delta y_{t-1}+u_{t},

3. na obecność pierwiastka jednostkowego z dryftem i trendem deterministycznym:

\nabla y_{t}=a_{0}+a_{1}t+\delta y_{t-1}+u_{t}.

Każda wersja testu ma swoją wartość krytyczną, która zależy od wielkości próbki. W każdym wypadku hipoteza zerowa mówi o obecności pierwiastka jednostkowego, $\delta =0$ – szereg jest niestacjonarny^[2].

Występuje także rozszerzony test Dickeya-Fullera (ADF) który niweluje wpływ autokorelacji w szeregu czasowym.

Przypisy

↑ Dickey, D.A. and W.A. Fuller (1979), Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root, „Journal of the American Statistical Association”, 74, s. 427–431.
↑ ^a ^b ^c ^d Damodar N. Gujarati: Basic Econometrics, Fourth Edition. McGraw-Hill Education (India) Pvt Limited, 2007, s. 814–815. ISBN 978-0-07-066005-2. (ang.).

[1] Dickey, D.A. and W.A. Fuller (1979), Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root, „Journal of the American Statistical Association”, 74, s. 427–431.

[gujarati-2] Damodar N. Gujarati: Basic Econometrics, Fourth Edition. McGraw-Hill Education (India) Pvt Limited, 2007, s. 814–815. ISBN 978-0-07-066005-2. (ang.).

[1]

[2]