Przejdź do zawartości

Twierdzenia Legendre’a (geometria absolutna)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenia Legendre’a – kilka twierdzeń geometrii absolutnej udowodnionych przez Legendre’a „przy okazji” jego wieloletnich nieskutecznych prób udowodnienia aksjomatu Euklidesa w oparciu o pozostałe aksjomaty geometrii euklidesowej[1].

Twierdzenia

[edytuj | edytuj kod]
  1. Jeśli suma kątów każdego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, to jest spełniony aksjomat Euklidesa.
  2. W każdym trójkącie suma kątów jest nie większa od kąta półpełnego.
  3. Jeśli suma kątów choć jednego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, to suma kątów każdego trójkąta jest równa kątowi półpełnemu, czyli jest spełniony aksjomat Euklidesa.
  4. Jeśli istnieje taki kąt ostry, że prostopadła wystawiona w każdym punkcie jednego z ramion przecina drugie ramię, to jest spełniony aksjomat Euklidesa.
  5. Jeśli prawdziwa jest hipoteza kąta ostrego dla pewnego czworokąta Saccheriego, to jest ona prawdziwa dla każdego czworokąta Saccheriego.

Dowód twierdzenia 1

[edytuj | edytuj kod]
Ilustracja do pierwszego twierdzenia Legendre’a

Niech będzie pewną prostą, a punkt pewnym punktem leżącym poza tą prostą. Niech będzie prostopadłą opuszczoną z punktu na prostą (tzn. leży na prostej ). Prosta prostopadła do w punkcie nie przecina prostej w punkcie bo powstały trójkąt na podstawie twierdzenia o kącie zewnętrznym, miałby kąt zewnętrzny przy wierzchołku większy od kąta wewnętrznego przy wierzchołku co jest sprzeczne z tym, że oba te kąty są proste. Niech promień o wierzchołku leży wewnątrz kąta między i Tworzy on wtedy z kąt ostry

Niech będzie ciągiem punktów prostej leżących po tej samej stronie prostej co promień określonym następująco (rysunek):

Wtedy trójkąty są równoramienne oraz kąt jest kątem zewnętrznym trójkąta Wynika stąd, że

  1. kąt jest równy
  2. kąt jest równy

Istnieje taka najmniejsza liczba naturalna że dla każdego nie mniejszego od

Stąd wynika, że promień leży między promieniem i Z aksjomatu Pascha wynika wtedy, że promień przecina bok trójkąta czyli prostą Zatem przy założeniu twierdzenia, każda prosta przechodząca przez różna od przecina prostą Stąd wynika, że przez punkt poza prostą można poprowadzić dokładnie jedną prostą jej nieprzecinającą, co jest jedną z wersji aksjomatu Euklidesa.

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Н. В. Ефимов: Высшая Геометрия. Москва: Наука, 1978, s. 21–31.