Aksjomat Pascha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Pasch's axiom.svg

Aksjomat Pascha – aksjomat płaszczyzny euklidesowej nie dający się wyprowadzić z pięciu aksjomatów Euklidesa:

Dane są na płaszczyźnie prosta i punkty i spoza takie, że odcinek przecina . Jeśli jest kolejnym punktem poza , to dokładnie jeden z odcinków lub przecina .[a]

Inna postać aksjomatu:

Prosta na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta i przecina jeden jego bok, przecina jeszcze drugi.


Aksjomat Pascha pozwala zdefiniować pojęcie półpłaszczyzny. W tym celu wprowadza się pojęcie leżenia dwóch punktów po jednej stronie prostej:

Punkty leżą po jednej stronie prostej , jeśli odcinek jest rozłączny z prostą

Tak zdefiniowana relacja jest relacją równoważności, której zwrotność i symetria są trywialne, zaś przechodniość tej relacji jest kontrapozycją aksjomatu Pascha.

Dowodzi się, że dla relacji leżenia po jednej stronie prostej istnieją dokładnie dwie klasy abstrakcji. Każdą z nich nazywa się półpłaszczyzną wyznaczoną przez daną prostą. Oczywiście z definicji, każda z tych półpłaszczyzn jest zbiorem wypukłym.


Aksjomat Pascha został sformułowany przez XIX-wiecznego matematyka Moritza Pascha w Vorlesungen übr neuere Geometrie, Lepizig 1882. David Hilbert w swojej aksjomatyce zalicza go do tzw. aksjomatów porządku.

Uwagi

  1. tezę aksjomatu można sformułować w słabszej wersji: któryś z odcinków przecina .

Bibliografia[edytuj]