Aksjomat Pascha

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Pasch's axiom.svg

Aksjomat Pascha – aksjomat płaszczyzny euklidesowej nie dający się wyprowadzić z pięciu aksjomatów Euklidesa:

Dane są na płaszczyźnie prosta l i punkty P i Q spoza l takie, że odcinek PQ przecina l. Jeśli R jest kolejnym punktem poza l, to dokładnie jeden z odcinków RP lub RQ przecina l.[a]

Inna postać aksjomatu:

Prosta na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta i przecina jeden jego bok, przecina jeszcze drugi.


Aksjomat Pascha pozwala zdefiniować pojęcie półpłaszczyzny. W tym celu wprowadza się pojęcie leżenia dwóch punktów po jednej stronie prostej:

Punkty P, Q leżą po jednej stronie prostej l, jeśli odcinek PQ jest rozłączny z prostą l

Tak zdefiniowana relacja jest relacją równoważności, której zwrotność i symetria są trywialne, zaś przechodniość tej relacji jest kontrapozycją aksjomatu Pascha.

Dowodzi się, że dla relacji leżenia po jednej stronie prostej istnieją dokładnie dwie klasy abstrakcji. Każdą z nich nazywa się półpłaszczyzną wyznaczoną przez daną prostą. Oczywiście z definicji, każda z tych półpłaszczyzn jest zbiorem wypukłym.


Aksjomat Pascha został sformułowany przez XIX-wiecznego matematyka Moritza Pascha w Vorlesungen übr neuere Geometrie, Lepizig 1882. David Hilbert w swojej aksjomatyce zalicza go do tzw. aksjomatów porządku.

Uwagi

  1. tezę aksjomatu można sformułować w słabszej wersji: któryś z odcinków \scriptstyle RP,\  RQ przecina \scriptstyle l.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]