Twierdzenie Carathéodory’ego-Fejéra

Twierdzenie Carathéodory’ego-Fejéra – klasyczne twierdzenie analizy zespolonej dotyczące funkcji analitycznych w kole jednostkowym płaszczyzny zespolonej, które są w pewnym sensie rozwinięciami wielomianów, przypominającymi rozwinięcia Taylora, o pewnych szczególnych własnościach. Twierdzenie udowodnione w roku 1911 przez Constantina Carathéodory’ego i Lipóta Fejéra.

Twierdzenie

Niech $p(z)=c_{0}+c_{1}z+\ldots c_{n}z^{n}$ będzie wielomianem zmiennej zespolonej. Istnieje wówczas dokładnie jedna funkcja:

$B^{*}(z)=c_{0}+c_{1}z+\ldots c_{n}z^{n}+\sum _{k=n+1}^{\infty }c_{k}^{*}z^{k},$

która jest analityczna w kole jednostkowym oraz minimalizuje funkcjonał

$\|B\|:=\sup _{z\leqslant 1}|B(z)|$

spośród wszystkich (analitycznych) rozwinięć $B(z)$ postaci

$B(z)=c_{0}+c_{1}z+\ldots c_{n}z^{n}+\sum _{k=n+1}^{\infty }c_{k}z^{k}.$

Ponadto, jeżeli $B^{*}(z)$ jest skończonym iloczynem Blaschke’go oraz $p(z)\neq 0,\,z\in \mathbb {C} ,$ to $B^{*}(z)$ ma co najwyżej n zer.