Okrąg jednostkowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ilustracja okręgu jednostkowego, Zmienna jest miarą kąta.

Okrąg jednostkowyokrąg o promieniu jednostkowym, tzn. równym 1. Często, szczególnie w trygonometrii, „okrąg jednostkowy” oznacza okrąg o promieniu 1 i środku w początku, tzn. punkcie , układu współrzędnych kartezjańskich płaszczyzny euklidesowej. Często oznacza się go symbolem ; jego uogólnieniem na wyższe wymiary jest sfera jednostkowa.

Jeżeli jest punktem okręgu jednostkowego leżącym w pierwszej ćwiartce, to i są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej długości 1. Z twierdzenia Pitagorasa oraz spełniają równanie

.

Ponieważ dla każdego , a odbicie dowolnego punktu leżącego na okręgu jednostkowych względem osi rzędnych bądź odciętych nadal leży na tym okręgu, to powyższe równanie jest spełnione dla wszystkich punktów leżących na okręgu jednostkowym, a nie tylko tych z pierwszej ćwiartki.

Do zdefiniowania innych „okręgów jednostkowych”, np. okręgu Riemanna, można skorzystać z innych pojęć „odległości”, zob. artykuł dotyczący norm.

Okrąg jednostkowy można zadać wielorako. Korzystając z własności liczb zespolonych uzyskuje się charakteryzację:

  • wykładniczą,
    ,
  • trygonometryczną:
    .

Funkcje trygonometryczne[edytuj]

Wszystkie funkcje trygonometryczne kąta θ mogą być skonstruowane geometrycznie na okręgu jednostkowym o środku w O.

Na okręgu jednostkowym można zdefiniować funkcje trygonometryczne sinusa i cosinusa: jeżeli jest punktem okręgu jednostkowego, a promień o początku w i końcu w tworzy kąt z dodatnią półosią (przy czym mierzy się go przeciwnie do ruchu wskazówek zegara zaczynając od osi), to

Równanie daje wtedy zależność

.

(Zapis jest zwyczajową formą zapisu potęg dla wszystkich funkcji trygonometrycznych.)

Okrąg jednostkowy daje intuicyjny wgląd w okresowość wspomnianych funkcji:

dla dowolnej liczby całkowitej .

Unit circle angles.svg

Wyżej wymienione tożsamości można podsumować następująco: współrzędne punktu na okręgu jednostkowym nie ulegają zmianie przy zwiększeniu bądź zmniejszeniu kąta o dowolną liczbę obrotów (1 obrót = 2п radianów = 360°).

Definiowane z elementów trójkąta prostokątnego sinus, cosinus oraz inne funkcje trygonometryczne są określone tylko dla miar kątów większych od i mniejszych od . Zdefiniowane za pomocą okręgu jednostkowego mają one swoje sensowne, intuicyjne uogólnienia dla dowolnej rzeczywistej miary kąta, co pokazano na rysunku obok.

Grupa okręgu[edytuj]

 Osobny artykuł: grupa okręgu.

Liczby zespolone mogą być utożsamiane z punktami płaszczyzną euklidesową, tzn. liczbę można utożsamiać z punktem . Pod tym założeniem okrąg jednostkowy jest grupą ze względu na mnożenie nazywaną grupą okręgu.

Dynamika zespolona[edytuj]

 Osobny artykuł: dynamika zespolona.
Okrąg jednostkowy w dynamice zespolonej

Zbiór Julii dyskretnego nieliniowego układu dynamicznego z funkcją ewolucji

jest okręgiem jednostkowym. Jest to najprostszy przypadek i z tego powodu jest on szeroko stosowany w badaniach nad układami dynamicznymi.

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]