Okrąg jednostkowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ilustracja okręgu jednostkowego, Zmienna t jest miarą kąta.

Okrąg jednostkowy – w matematyce okrąg o promieniu jednostkowym, tzn. równym 1. Często, szczególnie w trygonometrii, „okrąg jednostkowy” oznacza okrąg o promieniu 1 i środku w początku, tzn. punkcie (0, 0)\,, układu współrzędnych kartezjańskich płaszczyzny euklidesowej. Często oznacza się go symbolem \mathrm S^1; jego uogólnieniem na wyższe wymiary jest sfera jednostkowa.

Jeżeli (x, y)\, jest punktem okręgu jednostkowego leżącym w pierwszej ćwiartce, to x\, i y\, są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej długości 1. Z twierdzenia Pitagorasa x\, oraz y\, spełniają równanie

x^2 + y^2 = 1\,.

Ponieważ x^2 = (-x)^2\, dla każdego x\,, a odbicie dowolnego punktu leżącego na okręgu jednostkowych względem osi rzędnych bądź odciętych nadal leży na tym okręgu, to powyższe równanie jest spełnione dla wszystkich punktów (x, y)\, leżących na okręgu jednostkowym, a nie tylko tych z pierwszej ćwiartki.

Do zdefiniowania innych „okręgów jednostkowych”, np. okręgu Riemanna, można skorzystać z innych pojęć „odległości”, zob. artykuł dotyczący norm.

Okrąg jednostkowy można zadać wielorako. Korzystając z własności liczb zespolonych uzyskuje się charakteryzację:

  • wykładniczą,
    z(t) = e^{it}\,,
  • trygonometryczną:
    z(t) = \cos(t) + i\sin(t)\,.

Funkcje trygonometryczne[edytuj | edytuj kod]

Wszystkie funkcje trygonometryczne kąta θ mogą być skonstruowane geometrycznie na okręgu jednostkowym o środku w O.

Na okręgu jednostkowym można zdefiniować funkcje trygonometryczne sinusa i cosinusa: jeżeli (x, y) jest punktem okręgu jednostkowego, a promień o początku w (0, 0) i końcu w (x, y) tworzy kąt t z dodatnią półosią x (przy czym mierzy się go przeciwnie do ruchu wskazówek zegara zaczynając od osi), to

\begin{cases} \cos(t) = x \\ \sin(t) = y \end{cases}

Równanie x^2 + y^2 = 1 daje wtedy zależność

\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1\;.

(Zapis \cos^2(t) = (cos(t))^2 jest zwyczajową formą zapisu potęg dla wszystkich funkcji trygonometrycznych.)

Okrąg jednostkowy daje intuicyjny wgląd w okresowość wspomnianych funkcji:

\begin{cases} \cos(t) = \cos(2\pi k + t) \\ \sin(t) = \sin(2\pi k + t) \end{cases}

dla dowolnej liczby całkowitej k.

Unit circle angles.svg

Wyżej wymienione tożsamości można podsumować następująco: współrzędne x, y punktu na okręgu jednostkowym nie ulegają zmianie przy zwiększeniu bądź zmniejszeniu kąta t o dowolną liczbę obrotów (1 obrót = 2п radianów = 360°).

Definiowane z elementów trójkąta prostokątnego sinus, cosinus oraz inne funkcje trygonometryczne są określone tylko dla miar kątów większych od 0 i mniejszych od \tfrac{\pi}{2}. Zdefiniowane za pomocą okręgu jednostkowego mają one swoje sensowne, intuicyjne uogólnienia dla dowolnej rzeczywistej miary kąta, co pokazano na rysunku obok.

Grupa okręgu[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: grupa okręgu.

Liczby zespolone mogą być utożsamiane z punktami płaszczyzną euklidesową, tzn. liczbę a + bi można utożsamiać z punktem (a, b). Pod tym założeniem okrąg jednostkowy jest grupą ze względu na mnożenie nazywaną grupą okręgu.

Dynamika zespolona[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: dynamika zespolona.
Okrąg jednostkowy w dynamice zespolonej

Zbiór Julii dyskretnego nieliniowego układu dynamicznego z funkcją ewolucji

f_0(x) = x^2\;

jest okręgiem jednostkowym. Jest to najprostszy przypadek i z tego powodu jest on szeroko stosowany w badaniach nad układami dynamicznymi.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]