Funkcja analityczna
Funkcja analityczna na zbiorze – funkcja dająca się rozwinąć w szereg Taylora[1] w otoczeniu każdego punktu należącego do
Definicja[edytuj | edytuj kod]
Funkcja jest analityczna na zbiorze otwartym w sensie rzeczywistym (zespolonym), jeśli dla każdego punktu należącego do zachodzi wzór
gdzie jest ciągiem liczb rzeczywistych (odpowiednio zespolonych), a powyższy szereg jest zbieżny do dla każdego z otoczenia
Własności[edytuj | edytuj kod]
- Suma, różnica, iloczyn i złożenie funkcji analitycznych jest funkcją analityczną.
- Odwrotność funkcji analitycznej, która nie osiąga zera jest funkcją analityczną.
- Funkcja odwrotna do funkcji analitycznej, która jest odwracalna i jej pochodna nie osiąga zera jest funkcją analityczną.
Przykłady[edytuj | edytuj kod]
- Wszystkie wielomiany i funkcje wykładnicze są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej.
- Funkcje wymierne ciągłe są analityczne w sensie rzeczywistym.
- Logarytm jest analityczny w sensie rzeczywistym. Na płaszczyźnie zespolonej jest nieciągły na niedodatniej półprostej rzeczywistej.
Funkcje analityczne zmiennej zespolonej[edytuj | edytuj kod]
Pojęcie funkcji analitycznej różni się zasadniczo dla funkcji zespolonej. Wiele twierdzeń odnoszących się dla funkcji analitycznych w sensie zespolonym jest nieprawdziwych dla funkcji analitycznych w sensie rzeczywistym. Na przykład biorąc pod uwagę funkcję zdefiniowaną jako
Według twierdzenia Liouville’a każda funkcja analityczna i ograniczona jest równa stałej, co w przypadku jest fałszem.
Dlatego najczęściej funkcję analityczną w sensie zespolonym nazywa się holomorficzną, jako że każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna. Ponadto jeśli funkcja jest analityczna w sensie zespolonym na całej płaszczyźnie zespolonej, mówi się wtedy o funkcji całkowitej.
Funkcja analityczna (w sensie zespolonym) na jest rozwijalna w szereg Taylora który jest zbieżny na Nie jest to jednak prawdą dla funkcji zmiennej rzeczywistej. Dla przykładu funkcja jest analityczna na lecz nie da się jej rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całym zbiorze
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Funkcje analityczne, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-14] .
Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]
- Eric W. Weisstein , Analytic Function, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research (ang.).