Funkcja analityczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Funkcja analityczna na zbiorze D - funkcja dająca się rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu każdego punktu należącego do D.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Funkcja f jest analityczna na zbiorze otwartym D w sensie rzeczywistym (zespolonym), jeśli dla każdego punktu x0 należącego do D zachodzi wzór

gdzie a jest ciągiem liczb rzeczywistych (odpowiednio zespolonych), a powyższy szereg jest zbieżny do f(x) dla każdego x z otoczenia x0.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Wszystkie wielomiany i funkcje wykładnicze są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej.
  • Funkcje wymierne ciągłe są analityczne w sensie rzeczywistym.
  • Logarytm jest analityczny w sensie rzeczywistym. Na płaszczyźnie zespolonej jest nieciągły na niedodatniej półprostej rzeczywistej.

Funkcje analityczne zmiennej zespolonej[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie funkcji analitycznej różni się zasadniczo dla funkcji zespolonej. Wiele twierdzeń odnoszących się dla funkcji analitycznych w sensie zespolonym jest nieprawdziwych dla funkcji analitycznych w sensie rzeczywistym. Na przykład biorąc pod uwagę funkcję f zdefiniowaną jako

Według twierdzenia Liouville’a każda funkcja analityczna i ograniczona jest równa stałej, co w przypadku f jest fałszem.

Dlatego najczęściej funkcję analityczną w sensie zespolonym nazywa się holomorficzną, jako że każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna. Ponadto jeśli funkcja jest analityczna w sensie zespolonym na całej płaszczyźnie zespolonej, mówi się wtedy o funkcji całkowitej.

Funkcja analityczna (w sensie zespolonym) na jest rozwijalna w szereg Taylora który jest zbieżny na . Nie jest to jednak prawdą dla funkcji zmiennej rzeczywistej. Dla przykładu funkcja f jest analityczna na lecz nie da się jej rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całym zbiorze .

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]