Twierdzenie Liouville’a (analiza zespolona)

Autor twierdzenia, Joseph Liouville

Twierdzenie Liouville’a głosi, że funkcja całkowita, która jest ograniczona, jest stała.

Dowód

Niech $|f(z)|\leqslant M$ i $f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},$ to ze wzoru całkowego Cauchy’ego wynika, że $|a_{n}|<M\cdot R^{-n}$ dla każdego $R>0,$ stąd $a_{n}=0$ dla $n\geqslant 1$ i funkcja $f$ jest stale równa $a_{0}.$

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Liouville’s Boundedness Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).