Funkcja całkowita

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy analizy zespolonej. Zobacz też: definicja funkcji całkowitej jako pewnej relacji w haśle o funkcji częściowej.

Funkcja całkowitafunkcja zmiennej zespolonej, która jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej. Oznacza to, że funkcję tę można rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całej płaszczyźnie:

f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n,\quad gdzie z,a_n\in\mathbb{C}.

Przykłady[edytuj]

Wielomiany[edytuj]

 Zobacz też: Wielomian.

Każdy wielomian jest całkowity i ma skończone rozwinięcie w szereg Taylora, co więcej on sam jest swoim rozwinięciem. Na przykład:

f(z)=4z^5+7z^2+z+2=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n z^n

gdzie ciąg (a_n) jest postaci

(a_n)=(2,1,7,0,0,4,0,0,0,0,\ldots)

Funkcja eksponencjalna[edytuj]

 Zobacz też: Funkcja eksponencjalna.

Funkcja \exp(z) jest funkcją całkowitą zdefiniowaną jako

\exp(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!},

gdzie n! oznacza silnię.

Sinus i cosinus[edytuj]

 Zobacz też: Funkcje trygonometryczne.

Funkcje \sin(z) i \cos(z) są całkowite. Ich rozwinięcia w szereg Taylora są następujące:

\cos(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}
\sin(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}

Własności[edytuj]

Z definicji funkcji całkowitej wynika, iż każda funkcja całkowita jest ciągła i nieskończenie wiele razy różniczkowalna, a więc również holomorficzna.

Zobacz też[edytuj]