Wzór całkowy Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wzór całkowy Cauchy’ego – istotny wzór analizy zespolonej. Wyraża fakt, że funkcja holomorficzna zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.

Załóżmy, że jest zbiorem otwartym zawartym w oraz jest funkcją holomorficzną, a koło zawiera się w Niech będzie okręgiem tworzącym brzeg Wówczas dla każdego należącego do wnętrza zachodzi:

gdzie krzywa jest zorientowana dodatnio względem swego wnętrza (obiega je w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Przykład użycia[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy funkcję

oraz kontur opisany zależnością:

Aby znaleźć całkę po konturze, poszukujemy punktów osobliwych funkcji Funkcję możemy zapisać:

gdzie

Otrzymane punkty mają moduł mniejszy niż 2, wobec czego leżą wewnątrz konturu i muszą zostać rozpatrzone. Korzystając z lematu Cauchy’ego-Goursat’a, możemy wyrazić całkę po konturze jako sumę całek wokół punktów i gdzie jako kontur przyjmujemy dowolnie małe otoczenie obu punktów. Nazwijmy te kontury wokół oraz wokół

Zatem w zdefiniowana poniżej funkcja jest analityczna (bo kontur nie zawiera punktu ).

dlatego:

Dla drugiego konturu postępujemy analogicznie:

Całka po obszarze jest sumą dwóch powyższych całek:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]