Wzór całkowy Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzór całkowy Cauchy’ego – istotny wzór analizy zespolonej. Wyraża fakt, że funkcja holomorficzna zdefiniowana na dysku jest całkowicie zdeterminowana przez wartości, które przyjmuje na brzegu tego dysku.

Załóżmy, że U jest zbiorem otwartym zawartym w C oraz f : UC jest funkcją holomorficzną, a koło D = {z : | zz0| ≤ r} zawiera się w U. Niech γ będzie okręgiem tworzącym brzeg D. Wówczas dla każdego a należącego do wnętrza D zachodzi:

gdzie krzywa γ jest zorientowana dodatnio względem swego wnętrza (obiega je w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Przykład użycia[edytuj]

Rozważmy funkcję

oraz kontur C, opisany zależnością: |z|=2.

Aby znaleźć całkę f(z) po konturze, poszukujemy punktów osobliwych funkcji f(z). Funkcję f możemy zapisać:

gdzie

Otrzymane punkty mają moduł mniejszy niż 2, wobec czego leżą wewnątrz konturu i muszą zostać rozpatrzone. Korzystając z lematu Cauchy’ego-Goursat’a, możemy wyrazić całkę po konturze jako sumę całek wokół punktów z1 i z2, gdzie jako kontur przyjmujemy dowolnie małe otoczenie obu punktów. Nazwijmy te kontury C1 wokół z1 oraz C2 wokół z2.

Zatem w C1 zdefiniowana poniżej funkcja g1 jest analityczna (bo kontur nie zawiera punktu z2).

dlatego:

Dla drugiego konturu postępujemy analogicznie:

Całka po obszarze C jest sumą dwóch powyższych całek:

Zobacz też[edytuj]