Twierdzenie Pappusa-Guldina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenia Pappusa-Guldina – dwa twierdzenia stereometrii, ułatwiające obliczanie pola powierzchni obrotowej oraz objętości bryły obrotowej w oparciu o położenie środka ciężkości obracanej krzywej lub figury.

Twierdzenia nazwane zostały od nazwisk Pappusa z Aleksandrii i Paula Guldina.

Pierwsze twierdzenie Pappusa-Guldina[edytuj | edytuj kod]

Pappus.jpg

Pole powierzchni, powstałej przez obrót jednorodnej i płaskiej linii dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej linii i nie przecinającej jej, jest równe długości linii (s) pomnożonej przez długość okręgu (l = 2 \pi r_s) opisanego przy obrocie przez jej środek ciężkości (punkt C).

Np. dla torusa o promieniu R i promieniu okręgu r, długość linii s = 2 \pi r, długość okręgu dla środka ciężkości l = 2 \pi R, stąd pole torusa s \cdot l = 4 \pi^2 r R.


Drugie twierdzenie Pappusa-Guldina[edytuj | edytuj kod]

Pappus1.png

Objętość bryły, powstałej przy obrocie figury płaskiej dookoła osi leżącej w płaszczyźnie tej figury i nie przecinającej jej, jest równa polu powierzchni figury (A) pomnożonemu przez długość okręgu opisanego (l = 2 \pi R_s) przy obrocie przez jej środek ciężkości (punkt C_A).

Np. dla torusa o promieniu R i promieniu koła r, pole powierzchni koła A = \pi r^2, długość okręgu dla środka ciężkości l = 2 \pi R, stąd objętość torusa A \cdot l = 2 \pi^2 r^2 R.


Zobacz też[edytuj | edytuj kod]