Torus (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.
Torus

Torusdwuwymiarowa powierzchnia obrotowa zanurzalna w przestrzeni trójwymiarowej, powstała przez obrót okręgu wokół prostej leżącej w płaszczyźnie tego okręgu i nieprzecinającej go. Często oznacza się go symbolem lub .

Wyobrażeniem torusa może być napompowana dętka rowerowa lub powierzchnia obwarzanka.

Parametryzacje[edytuj]

Torus.png

Niech okrąg definiujący torus ma promień , obrotu pokrywa się z osią układu współrzędnych kartezjańskich a jej odległość od środka okręgu wynosi Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): R\; oraz niech środek okręgu leży w płaszczyźnie Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): OXY .

Wówczas równanie torusa przyjmuje postać:

Pole powierzchni torusa jest równe:

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): S=4\pi ^{2}rR,\;

z kolei objętość torusa (dokładniej: część przestrzeni ograniczonej torusem) jest równa:

Wyniki te najłatwiej uzyskać korzystając z tzw. parametryzacji sferycznej, czyli przedstawiając torus w układzie współrzędnych sferycznych.

Niech dany będzie okrąg w płaszczyźnie o środku w punkcie i promieniu gdzieParser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): R>r>0\; . Parametryzacja tego okręgu przedstawia się następująco:

Obróćmy ten okrąg o kąt wokół osi . W tym celu wykorzystamy macierz obrotu:

Zatem:

Wobec tego równanie parametryczne torusa jest postaci:

Krzywizna Gaussa[edytuj]

Krzywiznę Gaussa powierzchni obrotowej zadanej równaniem parametrycznym w punkcie można wyznaczyć ze wzoru:

Dla torusa o podanej wcześniej parametryzacji mamy:

Stąd:

Zatem z powyższego wzoru na krzywiznę Gaussa dla powierzchni obrotowej jest:

Zauważmy, że:

  • dla mamy czyli na zewnętrznej stronie torusa;
  • dla mamy czyli na górze i dole torusa;
  • dla mamy czyli po wewnętrznej stronie torusa;
  • gdy wówczas przyjmuje maksimum, tj. na największym okręgu (równoleżniku);
  • gdy wówczas przyjmuje minimum, tj. na najmniejszym okręgu (równoleżniku).

Uogólnienie[edytuj]

Torus jest homeomorficzny z przestrzenią ilorazową Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\mathbb {R}}^{2}/\sim \; , gdzie jest relacją równoważności określoną następująco:

Parser nie mógł rozpoznać (MathML z przejściem w SVG lub PNG (zalecane dla nowoczesnych przeglądarek i narzędzi zwiększenia dostępności): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): (x,y)\sim (x',y')\Leftrightarrow x-x'\in {\mathbb {Z}},y-y'\in {\mathbb {Z}} .

Wynika stąd istnienie odwzorowania , , które przyporządkowuje każdemu punktowi płaszczyzny jego klasę abstrakcji w relacji i przeprowadza płaszczyznę w torus. Przekształcenie to łatwo uogólnić na wyższe niż 2 wymiary.

Pojęcie torusa we współczesnej matematyce jest znacznie ogólniejsze i zależnie od działu matematyki możemy mówić o torusach wielowymiarowych, o obiektach w sensie topologicznym równoważnych torusowi, o obiektach mających takie same własności jak torus w sensie teorii rozmaitości algebraicznych itp.

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]