Twierdzenie o dedukcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie o dedukcji – jeżeli jest zdaniem oraz , to formuła zdaniowa należy do zbioru , gdzie to zbiór wszystkich konsekwencji logicznych zbioru formuł zdaniowych .

Definicja formalna[edytuj]

Niech będzie jakimkolwiek językiem rozszerzającym język klasycznego rachunku zdań i niech będzie rachunkiem zdaniowym w tym języku.

Klasycznym twierdzeniem o dedukcji dla rachunku nazywamy następujące stwierdzenie:

Dla dowolnego zbioru formuł języka oraz dwu formuł zachodzi równoważność:

Prawdziwość twierdzenia o dedukcji wymaga wyprowadzalności reguły odrywania dla spójnika implikacji .

Wyprowadzalność tej reguły nie jest niestety warunkiem wystarczającym do jego prawdziwości.

Niech bowiem , gdzie jest zbiorem formuł języka klasycznego rachunku zdań, jest regułą odrywania dla spójnika implikacji, jest regułą podstawiania dla języka klasycznego rachunku zdań oraz jest zbiorem aksjomatów klasycznego rachunku zdań.

Wówczas , chociaż w żadnym wypadku nie jest prawdą, że , bo , a nie jest tautologią.


Klasyczne twierdzenie o dedukcji jest prawdziwe m.in. w klasycznymintuicjonistycznym rachunku zdań oraz w rachunku predykatów w ujęciu Endertona.

Zobacz też[edytuj]