Rachunek predykatów pierwszego rzędu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rachunek predykatów pierwszego rzędu (ang. first order predicate calculus) – system logiczny, w którym zmienna, na której oparty jest kwantyfikator, może być elementem pewnej wybranej dziedziny (zbioru), nie może natomiast być zbiorem takich elementów. Tak więc nie mogą występować kwantyfikatory typu „dla każdej funkcji z X na Y...” (gdyż funkcja jest podzbiorem X × Y), „istnieje własność p, taka że...” czy „dla każdego podzbioru X zbioru Z...”. Rachunek ten nazywa się też krótko rachunkiem kwantyfikatorów, ale często używa się też nazwy logika pierwszego rzędu (szczególnie wśród matematyków zajmujących się logiką matematyczną).

Na przykład w rachunku predykatów pierwszego rzędu można zapisać zdanie „dla dowolnej liczby rzeczywistej istnieje liczba większa”, jednak nie można zapisać „każdy zbiór liczb rzeczywistych ma kres górny”, gdyż wówczas kwantyfikator ogólny musiałby przebiegać wszystkie możliwe podzbiory zbioru liczb rzeczywistych i potrzebny byłby rachunek predykatów co najmniej drugiego rzędu.

Rachunek predykatów pierwszego rzędu w ogólnym przypadku nie jest rozstrzygalny (w przeciwieństwie do rachunku zdań), lecz półrozstrzygalny (czyli rekurencyjnie przeliczalny), ale jeszcze nadaje się do komputerowej analizy (co już niekoniecznie można powiedzieć o rachunku predykatów wyższych rzędów, które dopuszczają kwantyfikatory dla zbiorów).

Znaczna część rozważań matematycznych może być sformalizowana na gruncie logiki pierwszego rzędu. Ponadto logika ta ma wiele własności czyniących ją bardziej użyteczną od innych logik, co ma wpływ na pewne preferowanie teorii formalizowalnych na jej gruncie.

W literaturze istnieje szereg równoważnych rozwinięć tego tematu. Prezentacja przedstawiona poniżej jest do pewnego stopnia oparta na książce Martina Goldsterna i Haima Judaha[1]. Wśród innych źródeł omawiających te zagadnienia należy wymienić podręcznik Witolda Pogorzelskiego[2] czy też książkę Zofii Adamowicz i Pawła Zbierskiego[3]. Bardzo popularnym jest też opracowanie Josepha Shoenfielda[4].

Wstęp do formalizacji[edytuj]

Logika pierwszego rzędu jest podstawą, na której formalizujemy większość matematyki. We wstępie do wspomnianej powyżej książki Goldsterna i Judaha traktującej właśnie o tej tematyce, Saharon Shelah napisał:

[Na gruncie matematyki] możemy zdefiniować czym jest dowód i wykazać, że w pewnym sensie „być prawdziwym” i „mieć dowód” znaczą to samo (twierdzenie Gödla o pełności). (...) Nie możemy wyciągnąć sami siebie z bagna za włosy: nie możemy udowodnić w naszym systemie, że nie ma w nim sprzeczności (twierdzenie Gödla o niezupełności) (...) Możemy zbudować ogólną teorię teorii matematycznych (teoria modeli).

System rachunku predykatów pierwszego rzędu składa się z:

  • zmiennych nazwowych (litery, za które wolno podstawić nazwy dowolnych przedmiotów)
  • stałych nazwowych (nazwy własne przedmiotów)
  • liter predykatowych (predykaty)
  • symboli funkcyjnych (funktory nazwotwórcze od argumentów nazwowych)
  • stałych logicznych (spójniki prawdziwościowe rachunku zdań i kwantyfikatory)
  • znaków pomocniczych (nawiasy)
  • symbolu równości.

Używając symboli wymienionych powyżej i przestrzegając naturalnych reguł możemy budować poprawnie zbudowane napisy. Niektóre z tych napisów mogą być interpretowane jako nazwy na pewne obiekty, a inne będą mówić o własnościach tych obiektów. Pierwsza grupa napisów poprawnie zbudowanych to termy, a druga to zdania. Przykładowy schemat kwantyfikatorowy zdania: Nie ma czegoś, czym ciekawią się wszyscy...

(czyt.: Nie istnieje taki x, że x jest substratem wiedzy, i dla każdego y, że jeżeli y jest istotą rozumną, to y ciekawi się x.)

Następnie ustalimy reguły wnioskowania, a także metody interpretacji naszych napisów.

Formalizacja języka [edytuj]

Każdy język pierwszego rzędu jest zdeterminowany przez ustalenie alfabetu.

Niech będzie pewnym zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Zbiór będzie nazywany alfabetem naszego języka, a sam język wyznaczony przez ten alfabet będzie oznaczany przez . Ustalmy też nieskończoną listę zmiennych (zwykle ).

Najpierw definiujemy termy języka jako elementy najmniejszego zbioru takiego, że:

  • wszystkie stałe i zmienne należą do ,
  • jeśli i jest -arnym symbolem funkcyjnym, to .

Następnie określamy zbiór formuł języka jako najmniejszy zbiór taki, że:

  • jeśli , to wyrażenie należy do ,
  • jeśli zaś jest -arnym symbolem relacyjnym, to wyrażenie należy do ,
  • jeśli i jest binarnym spójnikiem zdaniowym (alternatywą , koniunkcją , implikacją lub równoważnością ), to oraz ,
  • jeśli jest zmienną oraz , to także i .

W formułach postaci i mówimy, że zmienna znajduje się w zasięgu kwantyfikatora i jako taka jest związana. Przez indukcję po złożoności formuł rozszerzamy to pojęcie na wszystkie formuły, w których czy też pojawia się jako jedna z części użytych w budowie, ale ograniczamy się do występowań zmiennej w (i mówimy, że konkretne wystąpienie zmiennej jest wolne lub związane).

Zdanie w języku pierwszego rzędu to taka formuła, w której każda zmienna jest związana, czyli znajduje się w zasięgu działania jakiegoś kwantyfikatora.

Przykłady[edytuj]

  • Język teorii mnogości to , gdzie jest binarnym symbolem relacyjnym.
  • Język teorii grup to , gdzie jest binarnym symbolem funkcyjnym.
  • Język ciał uporządkowanych to , gdzie są binarnymi symbolami funkcyjnymi a jest binarnym symbolem relacyjnym.

Dowody w językach pierwszego rzędu[edytuj]

Ustalmy alfabet (tak więc jest to zbiór złożony ze stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych).

Podstawienia termów za zmienne[edytuj]

Przypuśćmy, że t i s są termami języka oraz jest jedną ze zmiennych. Definiujemy podstawienie jako term, który powstaje z s poprzez literalne zastąpienie w nim wszystkich egzemplarzy zmiennej termem t.

W przypadku zmiennej , termu t i formuły podstawienie definiuje się bardziej subtelnie, co najlepiej ująć indukcyjnie względem budowy formuły (por. [2]):

  • Jeśli jest formułą atomową , to
  • Jeśli , to , gdzie
  • Jeśli , to

oraz

  • jeśli , gdzie , to , jeśli oraz , w przeciwnym wypadku.

Aby móc wysłowić niektóre z aksjomatów Rachunku Predykatów konieczne jest pewne ograniczenie operacji podstawiania w formule. Mianowicie, powiadamy, że podstawienie termu t w formule za zmienną jest dopuszczalne lub, że zmienna jest wolna dla termu t w formule , ozn. , gdy (nieformalnie) literalne wstawienie tego termu w rozważanej formule w miejscu któregoś z wolnych wystąpień zmiennej spowodowałoby związanie pewnej zmiennej termu t (w szczególności zmienne nie będące wolnymi w danej formule są wolne w niej dla wszystkich termów).

Formalnie natomiast definiujemy to pojęcie indukcyjnie ze względu na budowę formuły następująco:

  • Jeśli , to
  • Jeśli jest formułą atomową, to
  • Jeśli , to , gdzie
  • Jeśli , to

oraz

  • jeśli , to , gdzie .

Przykłady[edytuj]

Rozważmy język ciał uporządkowanych . Niech termami będą, odpowiednio , oraz . Rozważmy formułę . Wówczas

  • to term ,
  • to term ,
  • to formuła i podstawienie termu za zmienną w jest dopuszczalne,
  • oraz są równokszałtne z , przy czym podstawienie termu za zmienną jest niedopuszczalne, zaś podstawienie tego samego termu za zmienną jest dopuszczalne (choć nieskuteczne), bowiem zmienna ta nie jest wolna w rozważanej formule.

Aksjomaty logiczne[edytuj]

Formuły następujących typów będą nazywane aksjomatami czystymi:

  • podstawienia formuł do tautologii rachunku zdań,
  • formuły postaci (gdzie to formuły),
  • formuły postaci , gdzie term może być podstawiony za zmienną w ,
  • formuły postaci gdzie zmienna nie jest wolna w formule ,
  • formuły postaci
,
i
,
gdzie są (niekoniecznie różnymi) zmiennymi,
  • formuły postaci
,
gdzie są zmiennymi a jest k-arnym symbolem relacyjnym,
  • formuły postaci
,
gdzie są zmiennymi a jest k-arnym symbolem funkcyjnym.

Aksjomaty czyste i formuły postaci , gdzie jest aksjomatem czystym, są nazywane aksjomatami logicznymi.

Reguła wnioskowania[edytuj]

Jeśli są formułami języka , oraz jest postaci to powiemy, że formuła może być wywnioskowana z w oparciu o regułę modus ponens.

Dowód[edytuj]

Niech będzie jakimś zbiorem formuł języka (możliwie pustym). Dowodem ze zbioru aksjomatów A nazywamy skończony ciąg formuł taki, że dla każdego ,

jest jedną z formuł z A, lub
jest aksjomatem logicznym, lub
może być wywnioskowana z w oparciu o regułę modus ponens. dla pewnych .

Jeśli jest dowodem ze zbioru aksjomatów A, to powiemy że formuła jest dowodliwa z A albo też że jest twierdzeniem z A i napiszemy wtedy . Jeśli A jest zbiorem pustym to możemy pominąć je w naszych oznaczeniach i napisać .

Powiemy, że A jest sprzecznym zbiorem aksjomatów, jeśli dla pewnej formuły mamy zarówno że , jak i . W przeciwnym razie mówimy, że A jest niesprzeczny.

Podstawowe własności[edytuj]

Niech będzie jakimś zbiorem formuł języka oraz niech będą formułami tegoż języka.

  • Twierdzenie o dedukcji: wtedy i tylko wtedy, gdy .
  • Twierdzenie o uogólnianiu: Jeśli zmienna x nie pojawia się jako zmienna wolna żadnej z formuł w A oraz , to .
  • Twierdzenie o wprowadzeniu kwantyfikatora :
(1) Przypuśćmy że term t może być podstawiony za zmienną x w . Jeśli , to .
(2) Przypuśćmy że zmienna x nie jest wolna w ani w żadnej z formuł w zbiorze A. Jeśli , to .
  • Twierdzenie o wprowadzeniu kwantyfikatora :
(1) Przypuśćmy że term t może być podstawiony za zmienną x w . Jeśli , to .
(2) Przypuśćmy że zmienna x nie jest wolna w ani w żadnej z formuł w zbiorze A. Jeśli , to .
  • Twierdzenie o zwartości I: zbiór zdań A jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podzbiór skończony jest niesprzeczny.

Interpretacje (modele) języka pierwszego rzędu[edytuj]

Ustalmy alfabet , ponadto ustalmy że jest zbiorem stałych tego alfabetu, jest zbiorem symboli funkcyjnych a to zbiór symboli relacyjnych.

Modele[edytuj]

Interpretacją lub modelem języka nazywamy układ

gdzie

  • M jest niepustym zbiorem zwanym dziedziną lub uniwersum modelu (często uniwersum modelu oznacza się przez ),
  • dla n-arnego symbolu relacyjnego , jest n-argumentową relacją na zbiorze M, tzn. ,
  • dla n-arnego symbolu funkcyjnego , jest n-argumentowym działaniem na zbiorze M, tzn. ,
  • dla stałej , jest elementem zbioru M.

Interpretacja termów w modelu[edytuj]

Przez indukcję po złożoności termów języka definiujemy interpretację termu w modelu . Dla termu o zmiennych wolnych zawartych wśród i dla elementów uniwersum modelu wprowadzamy następująco.

  • Jeśli t jest stałą c alfabetu τ, to .
  • Jeśli t jest zmienną , to .
  • Jeśli i jest -arnym symbolem funkcyjnym, to .

Relacja spełniania w modelu[edytuj]

Przez indukcję po złożoności formuł języka definiujemy, kiedy formuła jest spełniona w modelu . Dla formuły o zmiennych wolnych zawartych wśród i elementów uniwersum modelu wprowadzamy relację (czyt. „formuła jest spełniona w modelu na elementach ”) następująco.

  • Jeśli φ jest formułą dla pewnych termów których zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy elementy i zbioru M są identyczne.
  • Jeśli φ jest formułą dla pewnych termów których zmienne wolne są zawarte wśród i k-arnego symbolu relacyjnego , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy elementy .
  • Jeśli φ jest formułą dla pewnych formuł których zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy oraz .
  • Jeśli φ jest formułą dla pewnych formuł których zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy lub .
  • Jeśli φ jest formułą dla pewnych formuł których zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy lub nie zachodzi że .
  • Jeśli φ jest formułą dla pewnych formuł których zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy albo oba zdania i są prawdziwe, albo oba są fałszywe.
  • Jeśli φ jest formułą dla pewnej formuły której zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie jest fałszywe.
  • Jeśli φ jest formułą dla pewnej formuły której zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie jest prawdziwe dla każdego ciągu elementów uniwersum M takich, że oraz ilekroć jest zmienną wolną w φ.
  • Jeśli φ jest formułą dla pewnej formuły której zmienne wolne są zawarte wśród , to stwierdzimy że jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego ciągu elementów uniwersum M takich, że oraz ilekroć jest zmienną wolną w φ mamy, że .

Podstawowe własności[edytuj]

  • Twierdzenie o pełności: zbiór zdań A jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy ma on model (tzn. jest spełniony w pewnym modelu języka ).
  • Twierdzenie o zwartości II: zbiór zdań A ma model wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podzbiór skończony ma model.

Modele niestandardowe[edytuj]

Zazwyczaj podczas budowania zbioru aksjomatów matematycy mają na myśli jakiś konkretny model, który ma on opisywać. Niestety, najczęściej jeden zbiór aksjomatów posiada wiele nieizomorficznych modeli. „Właściwą” strukturę nazywa się wtedy modelem standardowym a każdą inną – modelem niestandardowym. Jedynie bardzo proste teorie posiadają dokładnie jeden model.

Fakt ten jest wadą logiki pierwszego rzędu. Dla większości teorii każdy skończony zbiór aksjomatów będzie zawsze nieprecyzyjny, tzn. nie będzie określał niektórych własności badanych obiektów i będzie można stworzyć zarówno model, gdzie taka własność zachodzi, jak i drugi model, gdzie ona nie zachodzi. Oba modele będą różne, ale jednak będą spełniać ten sam zestaw wyjściowych aksjomatów.

Modele niestandardowe można wyeliminować, ale potrzebne są do tego aksjomaty w logikach wyższego rzędu.

Każda aksjomatyzacja pierwszego rzędu liczb naturalnych posiada modele niestandardowe. W szczególności posiada je aksjomatyka Peano. Przykładem niestandardowego modelu aksjomatyki Peano są liczby hipernaturalne, czyli nieujemne liczby hiperrzeczywiste, które są równe swojej części całkowitej. Istnieją nawet przeliczalne modele niestandardowe arytmetyki. Dokładne opisanie takich modeli jest trudne, gdyż zarówno dodawanie, jak i mnożenie jest w nich nierozstrzygalne.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Martin Goldstern; Haim Judah: The Incompleteness Phenomenon. A new course in mathematical logic. A K Peters, Wellesley, Massachusetts, 1995. ISBN 1-56881-029-6.
  2. Witold A. Pogorzelski: Klasyczny rachunek kwantyfikatorów, zarys teorii, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1981. ISBN 83-01-00567-X.
  3. Zofia Adamowicz; Paweł Zbierski: Logic of mathematics. A modern course of classical logic. „Pure and Applied Mathematics” (New York). A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997. ISBN 0-471-06026-7.
  4. Joseph R. Shoenfield: Mathematical Logic, Association for Symbolic Logic, 1967. ISBN 1-56881-135-7.