Twierdzenie tangensów

Twierdzenie tangensów, wzór tangensów, twierdzenie Regiomontana – twierdzenie określające zależności między kątami i bokami trójkąta.

Twierdzenie

Jeśli $a$ i $b$ są długościami boków trójkąta, a $\alpha$ i $\beta$ są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.$

Dowód

Z twierdzenia sinusów wynikają równości:

$a=2R\sin \alpha$ i $b=2R\sin \beta ,$

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2R\sin {\alpha }-2R\sin {\beta }}{2R\sin {\alpha }+2R\sin {\beta }}}={\frac {\sin {\alpha }-\sin {\beta }}{\sin {\alpha }+\sin {\beta }}}$

Korzystając z wzoru na sumę sinusów i tożsamości $\operatorname {tg} \varphi ={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}$ otrzymujemy

${\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.$

Twierdzenie tangensów w trygonometrii sferycznej

Dla trójkątów sferycznych obowiązuje analogiczne twierdzenie:

Jeśli $a$ i $b$ są długościami boków trójkąta sferycznego, a $\alpha$ i $\beta$ są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność:

${\frac {\operatorname {tg} {\frac {a-b}{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}},$

Zobacz też

• twierdzenie sinusów
• twierdzenie cosinusów