Twierdzenie tangensów

Twierdzenie tangensów, wzór tangensów, twierdzenie Regiomontana – twierdzenie określające zależności między kątami i bokami trójkąta.

Twierdzenie

Jeśli $a$$a$ i $b$$b$ są długościami boków trójkąta, a $\alpha$$\alpha$ i $\beta$$\beta$ są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność

${a-b \over a+b}={\frac {\operatorname {tg} {\alpha -\beta \over 2}}{\operatorname {tg} {\alpha +\beta \over 2}}}$${a-b \over a+b}={\frac {\operatorname {tg}{\alpha -\beta \over 2}}{\operatorname {tg}{\alpha +\beta \over 2}}}$.

Dowód

Z twierdzenia sinusów wynikają równości:

$a=2R\sin \alpha$$a=2R\sin \alpha$ i $b=2R\sin \beta$$b=2R\sin \beta$,

${a-b \over a+b}={\frac {2R\sin {\alpha }-2R\sin {\beta }}{2R\sin {\alpha }+2R\sin {\beta }}}={\frac {\sin {\alpha }-\sin {\beta }}{\sin {\alpha }+\sin {\beta }}}$${a-b \over a+b}={\frac {2R\sin {\alpha }-2R\sin {\beta }}{2R\sin {\alpha }+2R\sin {\beta }}}={\frac {\sin {\alpha }-\sin {\beta }}{\sin {\alpha }+\sin {\beta }}}$

Korzystając z wzoru na sumę sinusów i tożsamości $\operatorname {tg} \varphi ={\sin \varphi \over \cos \varphi }$$\operatorname {tg} \varphi ={\sin \varphi \over \cos \varphi }$ otrzymujemy

${\sin \alpha -\sin \beta \over \sin \alpha +\sin \beta }={\frac {2\cos {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}{2\sin {\alpha +\beta \over 2}\cos {\alpha -\beta \over 2}}}={\frac {\operatorname {tg} {\alpha -\beta \over 2}}{\operatorname {tg} {\alpha +\beta \over 2}}}$${\sin \alpha -\sin \beta \over \sin \alpha +\sin \beta }={\frac {2\cos {\alpha +\beta \over 2}\sin {\alpha -\beta \over 2}}{2\sin {\alpha +\beta \over 2}\cos {\alpha -\beta \over 2}}}={\frac {\operatorname {tg}{\alpha -\beta \over 2}}{\operatorname {tg}{\alpha +\beta \over 2}}}$.

Twierdzenie tangensów w trygonometrii sferycznej

Dla trójkątów sferycznych obowiązuje analogiczne twierdzenie:

Jeśli $a$$a$ i $b$$b$ są długościami boków trójkąta sferycznego, a $\alpha$$\alpha$ i $\beta$$\beta$ są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność:

${\frac {\operatorname {tg} {\frac {a-b}{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}$${\frac {\operatorname {tg} {\frac {a-b}{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}$,

Zobacz też

• twierdzenie sinusów
• twierdzenie cosinusów