Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów lub wzór sinusów – twierdzenie dotyczące zależności między kątami i bokami w trójkącie.

Treść twierdzenia

W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie.

Zależność tę można zapisać następująco:

${a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }=2R$${a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }=2R$.

Dowód

Wystarczy udowodnić jedną z równości, np. równość ${c \over \sin \gamma }=2R$${c \over \sin \gamma }=2R$, gdyż dowody pozostałych są analogiczne. Podanej równości równoważna jest następująca:

${c \over 2R}=\sin \gamma$${c \over 2R}=\sin \gamma$

Na trójkącie $\Delta ABC$$\Delta ABC$ opisujemy okrąg i rozważamy trzy przypadki.

Przypadek 1. $\gamma =90^{\circ }$$\gamma =90^{\circ }$

$\sin \gamma =1$$\sin \gamma =1$ oraz $c=2R$$c=2R$, więc równość jest spełniona.

Przypadek 2. $\gamma <90^{\circ }$$\gamma <90^{\circ }$

Kreślimy średnicę $AD$$AD$ i rozważamy pomocniczy trójkąt $\Delta ABD$$\Delta ABD$. Kąt $\angle {ABD}$$\angle {ABD}$ jest prosty, więc oznaczając kąt $\angle {ADB}$$\angle {ADB}$ przez $\delta$$\delta$ otrzymujemy

${\frac {AB}{AD}}=\sin {\delta }$${\frac {AB}{AD}}=\sin {\delta }$

Ponieważ $AB=c$$AB=c$, $AD=2R$$AD=2R$ oraz $\delta =\gamma$$\delta =\gamma$ (są to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku), prawdziwa jest dowodzona równość.

Przypadek 3. $\gamma >90^{\circ }$$\gamma >90^{\circ }$

Postępując tak jak w przypadku 2. otrzymujemy równość

${AB \over AD}=\sin \delta$${AB \over AD}=\sin \delta$

Na mocy twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg mamy $\gamma +\delta =180^{\circ }$$\gamma +\delta =180^{\circ }$. Zatem $\sin \gamma =\sin(180^{\circ }-\delta )=\sin \delta$$\sin \gamma =\sin(180^{\circ }-\delta )=\sin \delta$. Także w tym przypadku dowodzona równość okazuje się prawdziwa.

Uproszczona wersja twierdzenia

W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały.

${a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }$${a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }$.

Dowód 1

Zgodnie ze znanym wzorem na pole trójkąta:

$P={\frac {1}{2}}ab\cdot \sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\cdot \sin \alpha ={\frac {1}{2}}ac\cdot \sin \beta$$P={\frac {1}{2}}ab\cdot \sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\cdot \sin \alpha ={\frac {1}{2}}ac\cdot \sin \beta$

Dzieląc każde z wyrażeń przez $a\cdot b\cdot c$$a\cdot b\cdot c$ i mnożąc przez 2 dostaniemy

${\frac {2P}{abc}}={\frac {\sin \gamma }{c}}={\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}$${\frac {2P}{abc}}={\frac {\sin \gamma }{c}}={\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}$

Biorąc odwrotności każdego z wyrażeń dostaniemy tezę.

Dowód 2

Opuśćmy wysokość z wierzchołka wspólnego dla boków $a$$a$, $c$$c$. Wówczas

$\sin \alpha ={\frac {h}{c}}\quad$$\sin \alpha ={\frac {h}{c}}\quad$ $,\quad \sin \gamma ={\frac {h}{a}}$$,\quad \sin \gamma ={\frac {h}{a}}$

Rugując z obu równań zmienną $h$$h$ dostaniemy:

$c\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \gamma$$c\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \gamma$

czyli, dzieląc obie strony przez $\sin \alpha \cdot \sin \gamma$$\sin \alpha \cdot \sin \gamma$, dostaniemy

${\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}$${\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}$

Zmieniając wierzchołki, z których opuszczamy wysokość dostaniemy pozostałe dwie równości.

Wnioski

Korzystając z twierdzenia sinusów można udowodnić:

• nierówność Erdősa,
• twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie,
• twierdzenie tangensów.

Wzór sinusów w geometriach nieeuklidesowych

Omawiane wyżej twierdzenie sinusów jest twierdzeniem geometrii euklidesowej czyli tzw. geometrii płaskiej i ma swoje odpowiedniki w geometriach nieeuklidesowych

W geometrii eliptycznej mamy wzór:

${\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}$${\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}$

Tutaj a,b,c są długościami odcinków sferycznych, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Dowód pierwszego wzoru znajduje się w następnej sekcji (przeprowadzony jest w jednym z możliwych modeli tej geometrii).

Analogicznie w geometrii hiperbolicznej, przyjąwszy tzw. metrykę naturalną dostaniemy:

${\frac {\sin \alpha }{\sinh a}}={\frac {\sin \beta }{\sinh b}}={\frac {\sin \gamma }{\sinh c}}$${\frac {\sin \alpha }{\sinh a}}={\frac {\sin \beta }{\sinh b}}={\frac {\sin \gamma }{\sinh c}}$

Tutaj a,b,c są długościami odcinków, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Jak widać, jeśli argumentem jest długość odcinka, to zamiast sin używamy sinh.

Spostrzeżenie, że $\sin(ix)=i\cdot \sinh(x)$$\sin(ix)=i\cdot \sinh(x)$ umożliwia bardziej spójne spojrzenie na temat. Otóż, jeśli K oznacza krzywiznę Gaussa powierzchni oraz $k={\sqrt {K}}$$k={\sqrt {K}}$, to otrzymamy następujący wzór:

${\frac {\sin \alpha }{\sin(ka)}}={\frac {\sin \beta }{\sin(kb)}}={\frac {\sin \gamma }{\sin(kc)}}$${\frac {\sin \alpha }{\sin(ka)}}={\frac {\sin \beta }{\sin(kb)}}={\frac {\sin \gamma }{\sin(kc)}}$

• Dla K>0 mamy trygonometrię na sferze o promieniu ${\tfrac {1}{k}}$${\tfrac {1}{k}}$.
• Dla K<0 mamy trygonometrię na pseudosferze o promieniu równym ${\tfrac {1}{|k|}}$${\tfrac {1}{|k|}}$. Ponieważ ${\tfrac {1}{k}}$${\tfrac {1}{k}}$ jest tutaj urojony więc można też

ten przypadek traktować jak sferę o promieniu urojonym ${\tfrac {1}{\sqrt {-|K|}}}={\tfrac {1}{i\cdot {\sqrt {|K|}}}}$${\tfrac {1}{{\sqrt {-|K|}}}}={\tfrac {1}{i\cdot {\sqrt {|K|}}}}$. Niekiedy sugestywnie ujmuje się to następująco: trygonometria hiperboliczna jest trygonometrią sferyczną na sferze o promieniu urojonym.

Twierdzenie sinusów dla trójkątów sferycznych

rys.1

Jeśli a,b,c oznaczają długości odcinków sferycznych, α β, γ są kątami umieszczonymi naprzeciw boków odpowiednio a,b,c to zachodzi wzór

${\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}$${\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}$

Dowód

Nazwijmy wektorem centralnym taki, który ma początek w środku sfery jednostkowej.

Długość odcinka sferycznego jest kątem między centralnymi wektorami, których końce są punktami ograniczającymi odcinek sferyczny.

Kąt między dwiema prostymi sferycznymi czyli kołami wielkimi jest kątem między płaszczyznami zawierającymi te koła wielkie, a ten z kolei jest kątem między wektorami prostopadłymi do obu tych płaszczyzn.

Jeśli mamy dwa końcowe punkty odcinka sferycznego będące końcami centralnych wektorów x,y to Iloczyn skalarny xy tych wektorów jest równy cosinusowi kąta między wektorami x, y czyli cosinusowi długości tego odcinka. Czyli

$xy=\cos c\,$$xy=\cos c\,$

.

$xz=\cos b\,$$xz=\cos b\,$

.

$yz=\cos a\,$$yz=\cos a\,$

Jeśli mamy dwa punkty na sferze będące końcami centralnych wektorów x, y to korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego możemy wyznaczyć wektor prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na x, y jako $x\times y$$x\times y$. Zgodnie z definicją długość takiego iloczynu wektorowego jest równa sinusowi kąta między wektorami x, y czyli sinusowi długości odcinka

$|x\times y|=\sin c$$|x\times y|=\sin c$

$|x\times z|=\sin b$$|x\times z|=\sin b$

$|y\times z|=\sin a$$|y\times z|=\sin a$

Rozważmy wyrażenie:

$(z\times x)\times (x\times y)$$(z\times x)\times (x\times y)$

Z jednej strony powyższy iloczyn wektorowy ma długość równą iloczynowi długości obu czynników oraz sinusa kąta między obu czynnikami czyli kąta między płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,z oraz płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,y. Ten ostatni kąt jest równy α. Czyli:

$|(z\times x)\times (x\times y)|=|z\times x|\cdot |x\times y|\cdot \sin \alpha =\sin b\cdot \sin c\cdot \sin \alpha$$|(z\times x)\times (x\times y)|=|z\times x|\cdot |x\times y|\cdot \sin \alpha =\sin b\cdot \sin c\cdot \sin \alpha$

Z drugiej strony na mocy znanej własności $p\times (q\times r)=q(pr)-r(pq)$$p\times (q\times r)=q(pr)-r(pq)$ dostajemy:

$(z\times x)\times (x\times y)=x((z\times x)y)-y((z\times x)x)=x((z\times x)y)$$(z\times x)\times (x\times y)=x((z\times x)y)-y((z\times x)x)=x((z\times x)y)$

bo

$(z\times x)x=0$$(z\times x)x=0$

Stąd

$|(z\times x)\times (x\times y)|=(z\times x)y$$|(z\times x)\times (x\times y)|=(z\times x)y$

rys. 2

Ponieważ (rys.2) dla iloczynu mieszanego $(z\times x)y$$(z\times x)y$ zachodzi

$(z\times x)y=\sin b\cdot \sin h_{b}$$(z\times x)y=\sin b\cdot \sin h_{b}$

gdzie $h_{b}$$h_{b}$ jest długością wysokości trójkąta opuszczonej na bok b więc dostajemy zależność

$\sin b\cdot \sin c\cdot \sin \alpha =\sin b\cdot \sin h_{b}$$\sin b\cdot \sin c\cdot \sin \alpha =\sin b\cdot \sin h_{b}$

a po uproszczeniu

$\sin c\cdot \sin \alpha =\sin h_{b}$$\sin c\cdot \sin \alpha =\sin h_{b}$

Prowadząc analogiczne rozważania dla wyrażenia

$(y\times z)\times (z\times x)$$(y\times z)\times (z\times x)$

dostaniemy zależność

$\sin a\cdot \sin \gamma =\sin h_{b}$$\sin a\cdot \sin \gamma =\sin h_{b}$

Rugując z obu zależności trygonometrycznych $\sin h_{b}$$\sin h_{b}$ dostaniemy

${\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}$${\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \gamma }{\sin c}}$

Analogicznie dowodzimy zależności

${\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}$${\frac {\sin \alpha }{\sin a}}={\frac {\sin \beta }{\sin b}}$

Twierdzenie sinusów dla czworościanu

litery łacińskie (czarne) oznaczają długości krawędzi, litery greckie (czerwone) oznaczają miary kątów krawiędziowych

Jeśli a,b,c,a',b',c' są długościami krawędzi czworościanu przy czym primowane leżą naprzeciw odpowiednich nieprimowanych, oraz jeśli α,β,γ,α',β',γ' są kątami krawiędziowymi przy analogicznych krawędziach to

${\frac {\sin \alpha \cdot \sin \alpha '}{a\cdot a'}}={\frac {\sin \beta \cdot \sin \beta '}{b\cdot b'}}={\frac {\sin \gamma \cdot \sin \gamma '}{c\cdot c'}}$${\frac {\sin \alpha \cdot \sin \alpha '}{a\cdot a'}}={\frac {\sin \beta \cdot \sin \beta '}{b\cdot b'}}={\frac {\sin \gamma \cdot \sin \gamma '}{c\cdot c'}}$

Dowód

Niech ${\widehat {ab}},{\widehat {ab'}},{\widehat {b'c}},\quad$$\widehat {ab},\widehat {ab'},\widehat {b'c},\quad$... oznaczają kąty złożone z dowolnych nie leżących naprzeciw siebie krawędzi.

Na podstawie twierdzenia sinusów dla trójkąta sferycznego przy wierzchołku, w którym zbiegają się boki a,b,c':

${\frac {\sin \alpha }{\sin {\widehat {bc'}}}}={\frac {\sin \beta }{\sin {\widehat {ac'}}}}$${\frac {\sin \alpha }{\sin \widehat {bc'}}}={\frac {\sin \beta }{\sin \widehat {ac'}}}$

podobnie dla wierzchołka, w którym zbiegają się boki a',b',c':

${\frac {\sin \alpha '}{\sin {\widehat {b'c'}}}}={\frac {\sin \beta '}{\sin {\widehat {a'c'}}}}$${\frac {\sin \alpha '}{\sin \widehat {b'c'}}}={\frac {\sin \beta '}{\sin \widehat {a'c'}}}$

Mnożąc stronami dwie powyższe równości dostaniemy:

${\frac {\sin \alpha \cdot \sin \alpha '}{\sin {\widehat {bc'}}\cdot \sin {\widehat {b'c'}}}}={\frac {\sin \beta \cdot \sin \beta '}{\sin {\widehat {ac'}}\cdot \sin {\widehat {a'c'}}}}\quad (1)$${\frac {\sin \alpha \cdot \sin \alpha '}{\sin \widehat {bc'}\cdot \sin \widehat {b'c'}}}={\frac {\sin \beta \cdot \sin \beta '}{\sin \widehat {ac'}\cdot \sin \widehat {a'c'}}}\quad (1)$

Na podstawie twierdzenia sinusów dla trójkąta, którego bokami są a',b,c':

${\frac {\sin {\widehat {bc'}}}{a'}}={\frac {\sin {\widehat {a'c'}}}{b}}$${\frac {\sin \widehat {bc'}}{a'}}={\frac {\sin \widehat {a'c'}}{b}}$

podobnie dla trójkąta, którego bokami są a,b',c':

${\frac {\sin {\widehat {b'c'}}}{a}}={\frac {\sin {\widehat {ac'}}}{b'}}$${\frac {\sin \widehat {b'c'}}{a}}={\frac {\sin \widehat {ac'}}{b'}}$

Mnożąc stronami dwie powyższe równości dostaniemy:

${\frac {\sin {\widehat {bc'}}\cdot \sin {\widehat {b'c'}}}{aa'}}={\frac {\sin {\widehat {ac'}}\cdot \sin {\widehat {a'c'}}}{bb'}}\quad (2)$${\frac {\sin \widehat {bc'}\cdot \sin \widehat {b'c'}}{aa'}}={\frac {\sin \widehat {ac'}\cdot \sin \widehat {a'c'}}{bb'}}\quad (2)$

I na koniec, mnożąc stronami równości (1), (2) dostaniemy

${\frac {\sin \alpha \cdot \sin \alpha '}{a\cdot a'}}={\frac {\sin \beta \cdot \sin \beta '}{b\cdot b'}}$${\frac {\sin \alpha \cdot \sin \alpha '}{a\cdot a'}}={\frac {\sin \beta \cdot \sin \beta '}{b\cdot b'}}$

Zmieniając parę przeciwnych krawędzi czworościanu na inną parę dostaniemy pozostałe dwie równości tezy.

Twierdzenie sinusów dla kąta trójściennego

Jeśli $\alpha ,\beta ,\gamma$$\alpha ,\beta ,\gamma$ są kątami płaskimi przy wierzchołku S czworścianu SABC odpowiednio między ramionami: SB i SC, SA i SC, SA i SB, zaś $\alpha ',\beta ',\gamma '$$\alpha ',\beta ',\gamma '$ kątami dwuściennymi leżącymi naprzeciw nich, czyli kątami krawędziowymi SA, SB, SC. Wówczas zachodzi wzór:

${\frac {\sin {\alpha }}{\sin {\alpha '}}}={\frac {\sin {\beta }}{\sin {\beta '}}}={\frac {\sin {\gamma }}{\sin {\gamma '}}}$${\frac {\sin {\alpha }}{\sin {\alpha '}}}={\frac {\sin {\beta }}{\sin {\beta '}}}={\frac {\sin {\gamma }}{\sin {\gamma '}}}$

Dowód polega na zrzutowaniu punktu A na płaszczyznę SBC (rzut - A') i przedstawieniu stosunku długości AA' do OA za pomocą funkcji trygonometrycznych kątów występujących przy rzutowaniu najpierw na prostą SB lub SC i porównaniu wyrażeń.

Zobacz też

• twierdzenie cosinusów
• twierdzenie tangensów