Twierdzenie sinusów lub wzór sinusów – twierdzenie dotyczące zależności między kątami i bokami w trójkącie.
W dowolnym trójkącie na płaszczyźnie, iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały i równy długości średnicy okręgu opisanego na trójkącie.
Zależność tę można zapisać następująco:

Wystarczy udowodnić jedną z równości, np. równość
gdyż dowody pozostałych są analogiczne. Podanej równości równoważna jest następująca:

Na trójkącie
opisujemy okrąg i rozważamy trzy przypadki.
- Przypadek 1.

oraz
więc równość jest spełniona.
- Przypadek 2.

Kreślimy średnicę
i rozważamy pomocniczy trójkąt
Kąt
jest prosty, więc oznaczając kąt
przez
otrzymujemy

Ponieważ
oraz
(są to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku), prawdziwa jest dowodzona równość.
- Przypadek 3.

Postępując tak jak w przypadku 2, otrzymujemy równość

Na mocy twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg mamy
Zatem
Także w tym przypadku dowodzona równość okazuje się prawdziwa.
Uproszczona wersja twierdzenia[edytuj | edytuj kod]
W dowolnym trójkącie iloraz długości dowolnego boku i sinusa kąta naprzeciw tego boku jest stały.

Zgodnie ze znanym wzorem na pole trójkąta:

Dzieląc każde z wyrażeń przez
i mnożąc przez 2, dostajemy

Biorąc odwrotności każdego z wyrażeń, dostajemy tezę.
Opuśćmy wysokość z wierzchołka wspólnego dla boków
Wówczas

Rugując z obu równań zmienną
dostajemy:

czyli dzieląc obie strony przez
dostajemy

Zmieniając wierzchołki, z których opuszczamy wysokość, dostajemy pozostałe dwie równości.
Korzystając z twierdzenia sinusów, można udowodnić:
Wzór sinusów w geometriach nieeuklidesowych[edytuj | edytuj kod]
Omawiane wyżej twierdzenie sinusów jest twierdzeniem geometrii euklidesowej, czyli tzw. geometrii płaskiej i ma swoje odpowiedniki w geometriach nieeuklidesowych
W geometrii eliptycznej mamy wzór:

Tutaj a,b,c są długościami odcinków sferycznych, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Dowód pierwszego wzoru znajduje się w następnej sekcji (przeprowadzony jest w jednym z możliwych modeli tej geometrii).
Analogicznie w geometrii hiperbolicznej, przyjąwszy tzw. metrykę naturalną, dostajemy:

Tutaj a, b, c są długościami odcinków, α, β, γ są kątami między odpowiednimi bokami. Jak widać, jeśli argumentem jest długość odcinka, to zamiast sin używamy sinh.
Spostrzeżenie, że
umożliwia bardziej spójne spojrzenie na temat. Otóż, jeśli K oznacza krzywiznę Gaussa powierzchni oraz
to otrzymamy następujący wzór:

- Dla K>0 mamy trygonometrię na sferze o promieniu

- Dla K<0 mamy trygonometrię na pseudosferze o promieniu równym
Ponieważ
jest tutaj urojony więc można też ten przypadek traktować jak sferę o promieniu urojonym
Niekiedy sugestywnie ujmuje się to następująco: trygonometria hiperboliczna jest trygonometrią sferyczną na sferze o promieniu urojonym.
- Jeśli a,b,c oznaczają długości odcinków sferycznych, α β, γ są kątami umieszczonymi naprzeciw boków odpowiednio a,b,c to zachodzi wzór

Nazwijmy wektorem centralnym taki, który ma początek w środku sfery jednostkowej.
Długość odcinka sferycznego jest kątem między centralnymi wektorami, których końce są punktami ograniczającymi odcinek sferyczny.
Kąt między dwiema prostymi sferycznymi, czyli kołami wielkimi jest kątem między płaszczyznami zawierającymi te koła wielkie, a ten z kolei jest kątem między wektorami prostopadłymi do obu tych płaszczyzn.
Jeśli mamy dwa końcowe punkty odcinka sferycznego będące końcami centralnych wektorów x, y to Iloczyn skalarny xy tych wektorów jest równy cosinusowi kąta między wektorami x, y, czyli cosinusowi długości tego odcinka. Czyli



Jeśli mamy dwa punkty na sferze będące końcami centralnych wektorów x, y, to korzystając z pojęcia iloczynu wektorowego, możemy wyznaczyć wektor prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na x, y jako
Zgodnie z definicją długość takiego iloczynu wektorowego jest równa sinusowi kąta między wektorami x, y, czyli sinusowi długości odcinka



Rozważmy wyrażenie:

Z jednej strony powyższy iloczyn wektorowy ma długość równą iloczynowi długości obu czynników oraz sinusa kąta między obu czynnikami, czyli kąta między płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,z oraz płaszczyzną rozpiętą na wektorach x,y. Ten ostatni kąt jest równy α. Czyli:

Z drugiej strony na mocy znanej własności
dostajemy:

ponieważ

Stąd

Ponieważ (rys. 2) dla iloczynu mieszanego
zachodzi

gdzie
jest długością wysokości trójkąta opuszczonej na bok b, to dostajemy zależność

a po uproszczeniu

Prowadząc analogiczne rozważania dla wyrażenia

dostajemy zależność

Rugując z obu zależności trygonometrycznych
dostajemy

Analogicznie dowodzimy zależności

Twierdzenie sinusów dla czworościanu[edytuj | edytuj kod]
litery łacińskie (czarne) oznaczają długości krawędzi, litery greckie (czerwone) oznaczają miary kątów krawędziowych
Jeśli a, b, c, a′, b′, c′ są długościami krawędzi czworościanu przy czym primowane leżą naprzeciw odpowiednich nieprimowanych, oraz jeśli α, β, γ, α', β', γ' są kątami krawędziowymi przy analogicznych krawędziach, to

Niech
oznaczają kąty złożone z dowolnych nie leżących naprzeciw siebie krawędzi.
Na podstawie twierdzenia sinusów dla trójkąta sferycznego przy wierzchołku, w którym zbiegają się boki a, b, c′:

Podobnie dla wierzchołka, w którym zbiegają się boki a′, b′, c′:

Mnożąc stronami dwie powyższe równości, dostajemy:

Na podstawie twierdzenia sinusów dla trójkąta, którego bokami są a′, b, c′:

Podobnie dla trójkąta, którego bokami są a, b′, c′:

Mnożąc stronami dwie powyższe równości, dostajemy:

I na koniec, mnożąc stronami równości (1), (2), dostajemy

Zmieniając parę przeciwnych krawędzi czworościanu na inną parę, dostajemy pozostałe dwie równości tezy.
Jeśli
są kątami płaskimi przy wierzchołku S czworościanu SABC odpowiednio między ramionami: SB i SC, SA i SC, SA i SB, zaś
kątami dwuściennymi leżącymi naprzeciw nich, czyli kątami krawędziowymi SA, SB, SC. Wówczas zachodzi wzór:

Dowód polega na zrzutowaniu punktu A na płaszczyznę SBC (rzut – A′) i przedstawieniu stosunku długości AA′ do OA za pomocą funkcji trygonometrycznych kątów występujących przy rzutowaniu najpierw na prostą SB lub SC i porównaniu wyrażeń.