Zasada abstrakcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zasada abstrakcjitwierdzenie matematyczne mówiące, że dowolnemu rozbiciu zbioru odpowiada pewna relacja równoważności, a każda relacja równoważności ustanawia pewne rozbicie zbioru[1].

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest zbiorem niepustym i jest relacją równoważnościową na tym zbiorze, to rodzina podzbiorów określona następująco:

jest rozbiciem zbioru [2].

Twierdzenie to nazywane jest zasadą abstrakcji, a zbiory rodziny klasami abstrakcji relacji [2].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ więc każdy element zbioru należy do pewnego zbioru rodziny i żaden z tych zbiorów nie jest pusty. Jeśli to istnieje skąd Zatem czyli [3].

Twierdzenie odwrotne[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest zbiorem niepustym i jest jego rozbiciem, to relacja określona w zbiorze wzorem:

jest równoważnościowa[4].

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Jeśli to ponieważ to dla pewnego a stąd wynika, że

Jeśli to Wynika to z oczywistej implikacji:

Niech Istnieją dla których Jednak w tym wypadku ponieważ skąd a więc [5].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości., Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005.
  2. a b Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 271.
  3. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 271 – dowód.
  4. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 270.
  5. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ​ISBN 978-83-89020-35-2​; s. 270-271 – Dowód.