Podzbiór

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Diagram Venna: A jest podzbiorem B, a B jest nadzbiorem A.

Podzbiór – pewna „część” danego zbioru, czyli dla danego zbioru, nazywanego nadzbiorem, zbiór składający się z pewnej liczby jego elementów, np. żadnego, jednego, wszystkich. Pierwszy przypadek nazywa się podzbiorem pustym, drugi – podzbiorem jednoelementowym lub singletonem, trzeci – podzbiorem niewłaściwym.

Definicja[edytuj]

Niech będą zbiorami. Jeżeli każdy element jest jednocześnie elementem , to zbiór nazywa się podzbiorem zbioru [1][2][3]. W zapisie logicznym:

,

inaczej fakt ten można wyrazić jako

[2].

Jeżeli jest podzbiorem , to sam zbiór nazywa się nadzbiorem zbioru [2] i oznacza .

Jeżeli jednocześnie każdy element zbioru należy do , to dla zaznaczenia tego faktu podzbiór zbioru nazywa się niewłaściwym. Fakt ten zachodzi dokładnie w jednej sytuacji: cały zbiór jest swoim podzbiorem niewłaściwym, a więc . W przeciwnym wypadku, czyli gdy oraz , zbiór nazywa się podzbiorem właściwym zbioru [2] i oznacza . Podobnie ma się rzecz z nadzbiorami.

Zapis[edytuj]

W starszych pozycjach (np. w podręcznikach Kuratowskiego[1][3] i Rasiowej[2]) do oznaczenia bycia podzbiorem bądź nadzbiorem wykorzystywane były jedynie symbole oraz , a fakt bycia podzbiorem (nadzbiorem) właściwym zaznaczany był obok. Z czasem jednak zaczęto korzystać ze znaków i na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów, również niewłaściwych (z połączenia poprzednich znaków ze znakiem równości), pozostawiając poprzednie symbole dla przypadków właściwych[a][4][5]. Ponieważ część autorów przyjęła nową konwencję, a część z nich pozostała przy starych oznaczeniach, znaczenie symboli i nie jest do dziś jasno określone i zależy od autora pozycji. Z tego powodu z czasem wprowadzono symbole i na oznaczenie podzbiorów i nadzbiorów właściwych (połączenie ze znakiem nierówności), które jednoznacznie określają podzbiory i nadzbiory właściwe. W celu uniknięcia wątpliwości w artykule tym konsekwentnie stosowane są symbole zawierające znaki równości i nierówności.

Zawieranie[edytuj]

Dla dowolnego zbioru prawdziwe jest zdanie:

Zbiór pusty jest podzbiorem właściwym każdego zbioru oprócz siebie.

Poza tym dla dowolnych zbiorów zachodzą następujące fakty:

  • dowolny zbiór jest swoim własnym podzbiorem (zwrotność),
    [6][3],
  • zbiory, które są swoimi podzbiorami i nadzbiorami są równe[6][1] (antysymetria),
    ;
  • podzbiór podzbioru danego zbioru jest podzbiorem tego zbioru (przechodniość),
    [6][8].

Relacja jest więc relacją częściowego porządku (słabego) określoną w zbiorze wszystkich podzbiorów danego zbioru, tzw. zbiorze potęgowym[9][10]. Nazywa się ją zawieraniem bądź inkluzją[1][2][3]. Dlatego też dla danych zbiorów pozostających z sobą w relacji mówi się obok „ jest podzbiorem ”, że zawiera się bądź jest zawarty w . Analogiczne wyrażenie obok „ jest nadzbiorem ” czyta się zawiera .

Relacja ma analogiczne własności (ma element największy zamiast najmniejszego, jest nim również zbiór pusty), a sama nie doczekała się własnej nazwy i również nosi nieściśle nazwę inkluzji bądź zawierania. Sposób czytania tych relacji również jest wymienny i zależy od czytelnika, choć zwykle stosuje się wyżej opisany.

Zawieranie właściwe[edytuj]

Podobnie rzecz ma się z relacjami oraz , które niekiedy czyta się „zawiera się całkowicie (w całości) w” i „jest zawarty całkowicie w”. Relacje te są również są relacjami częściowego porządku, lecz ostrymi, mają więc nieco inne własności; dla dowolnych zbiorów :

  • żaden zbiór nie jest swoim ścisłym nadzbiorem (przeciwzwrotność),
    ,
  • podzbiór właściwy podzbioru właściwego danego zbioru jest podzbiorem właściwym tego zbioru (przechodniość),
    .

Z tych dwóch własności wynika też trzecia:

  • podzbiór właściwy zbioru nie może być jego nadzbiorem właściwym (przeciwsymetria),
    .

Warto zauważyć, że z własności drugiej i trzeciej wynika pierwsza.

Przykłady[edytuj]

  • zbiór jest podzbiorem (właściwym) zbioru ,
  • zbiór zawiera się w ,
  • zbiór nie jest podzbiorem zbioru ,
  • zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem (właściwym) zbioru liczb całkowitych, ale zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
  • zbiór liczb rzeczywistych jest nadzbiorem (właściwym) zbioru liczb wymiernych,
  • zbiór kwadratów jest całkowicie zawarty w zbiorze rombów, zawiera się również w zbiorze prostokątów, jednakże zbiór rombów nie jest podzbiorem zbioru prostokątów.

Zobacz też[edytuj]

Uwagi[edytuj]

  1. Zgodnie z analogią do symboli stosowanych w relacjach porządku, np. .

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  1. Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.
  2. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
  3. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
  4. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
  5. Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
  6. Jerzy Tiuryn: Wstęp do teorii mnogości i logiki. Warszawa: Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Uniwersytet Warszawski, 1998.