Zbiór pusty

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Zbiór pustyzbiór niezawierający żadnych elementów; zazwyczaj oznaczany symbolami ∅, a także {}, 0[1] lub Λ[2]. Zbiór, który nie jest pusty, tj. zawiera choćby jeden element, nazywany jest zbiorem niepustym.

W teorii mnogości Zermela-Fraenkla istnienie zbioru pustego jest zagwarantowane przez aksjomat zbioru pustego, a jego jedyność wynika z aksjomatu ekstensjonalności.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru:
bo zgodnie z definicją zachodzi
Prawdziwość powyższej implikacji wynika z reguły z fałszu wynika wszystko.
  • Suma dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równa zbiorowi A:
  • Iloczyn dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:
  • Iloczyn kartezjański dowolnego zbioru A i zbioru pustego jest równy zbiorowi pustemu:
  • Jedynym podzbiorem zbioru pustego jest zbiór pusty:
Oznacza to, że zbiór potęgowy zbioru pustego zawiera jeden element, czyli zbiór pusty.
  • Moc zbioru pustego wynosi 0:
  • Dla dowolnego zbioru A zbiór pusty jest relacją w A zwaną relacją pustą.
  • Dla dowolnego zbioru A można określić funkcję zwaną funkcją pustą.
  • Jeżeli jest dowolną funkcją zdaniową, to prawdą jest, że:
  • Ponadto dla dowolnej funkcji zdaniowej i zbioru A, na którym jest ona określona, zachodzi warunek:
  • etc.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Roman Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy, Biblioteka Matematyczna, tom 28, Warszawa 1972, s. 12.
  2. Andrzej Grzegorczyk, Zarys logiki matematycznej, t. 20, Warszawa 1973, s. 35.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]