Teoria ergodyczna

Teoria ergodyczna jest dziedziną matematyki zajmującą się ergodycznymi układami dynamicznymi.

Twierdzenia ergodyczne

Twierdzenie Birkhoffa

Jeśli $(X,{\mathcal {F}},\mu ,T)$ jest układem ergodycznym, to dla dowolnej funkcji $f\in L_{1}(\mu )$ zachodzi

$\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(T^{n}x)=\int _{X}f\;d\mu$

dla $\mu -$prawie wszystkich $x\in X$.

Twierdzenie ergodyczne o średniej

Jeśli $(X,{\mathcal {F}},\mu ,T)$ jest układem ergodycznym, a $P_{T}$ jest ortogonalną projekcją na podprzestrzeń

$I=\{g\in L_{2}(\mu )\colon \;U_{T}g=g\}\subseteq L_{2}(\mu )$,

to dla dowolnej funkcji $f\in L_{2}(\mu )$ zachodzi zbieżność w normie $L_{2}(\mu )$,

${\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(T^{n}x)\longrightarrow P_{T}f$

przy $N\to \infty$.