Układ dynamiczny

Układ dynamiczny – model matematyczny rzeczywistego zjawiska przyrody, którego ewolucja jest wyznaczona jednoznacznie przez stan początkowy; najczęściej jest opisany pewnym wektorowym równaniem różniczkowym (czyli w istocie układem równań różniczkowych zwyczajnych), zwanym równaniem stanu. Teoria układów dynamicznych stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania przy opisie rozmaitych konkretnych zjawisk, m.in. w teorii sterowania.

Układ z pamięcią - zachowanie układu zależy od stanu pamięci i zadanego wymuszenia.

Typy układów dynamicznych

Gładkie

(pochodzą od autonomicznych równań różniczkowych)

$X$ - zbiór z pewną strukturą różniczkowalną

$(T_t)$ - rodzina odwracalnych przekształceń różniczkowalnych (dyfeomorfizmów) spełniających warunek $T_t{\circ}T_s=T_{t+s}$

Topologiczne

(dziedzina: dynamika topologiczna)

Niech $\mathbf{X}$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $\varphi:\mathbf{X}\times\mathbb{R}\rightarrow\mathbf{X}$ niech będzie odwzorowaniem. Parę $\left(\mathbf{X},\varphi\right)$ nazywamy układem dynamicznym, jeżeli dla wszystkich $x\in\mathbf{X}$ oraz $t,s\in\mathbb{R}$ zachodzą warunki:

$\varphi(x,0)=x\;$,

$\varphi(\varphi(x,t),s)=\varphi(x,t+s)\;$

oraz $\varphi$ jest odwzorowaniem ciągłym.

Interpretacja

Interpretecja tej definicji może być nastepująca:

Przestrzeń $\mathbf{X}$ jest zbiorem wszystkich możliwych stanów, w których może znajdować się pewien fizyczny układ. Zbiór liczb rzeczywistych $\mathbb{R}$ reprezentuje oś czasu. Punkt $\varphi(x,t)\;$ jest interpretowany jako stan układu po upływie czasu $t\,$, jeżeli wiemy, iż układ ten był w chwili $t=0\,$ w stanie $x\,$. Warunek drugi powyższej definicji mówi w istocie o tym, że sposób ewolucji początkowego stanu układu nie zależy od czasu, w którym ta ewolucja przebiega.

Teoriomiarowe

(dziedzina: teoria ergodyczna)

$(X,\mathcal{F}, \mu)$ - przestrzeń z miarą (zwykle probabilistyczna), $T\colon X\to X$ - odwzorowanie mierzalne o którym często zakłada się, że zachowuje miarę, tzn. $\mu(B)=\mu(T^{-1}B)\;$ dla $B\in \mathcal{F}$.

Przykładami takich odwzorowań są: przekształcenie piekarza oraz przesunięcie w lewo dla uogólnionego schematu Bernoulliego (układu Bernoulliego), albo np.

$Tx=2x \mod 1$ dla $x \in X=[0, 1]$.

Zobacz też

• układ statyczny