Aksjomat sumy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Aksjomat sumy to jeden z aksjomatów teorii mnogości Zermelo Fraenkela. Główny wniosek wynikający z tego aksjomatu jest taki, że suma zbiorów zawsze istnieje i jest też zbiorem.

Wersja dla dwóch zbiorów[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnych dwóch zbiorów A, B istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B i który nie zawiera żadnych innych elementów. Formalnie można to zapisać następująco:

\forall A \forall B \exist C \forall x (x\in A \or x\in B \iff x\in C)

Z aksjomatu ekstensjonalności wynika ponadto istnienie co najwyżej jednego takiego zbioru. Istotnie gdyby C1, C2 były zbiorami istniejącymi na mocy aksjomatu sumy dla zbiorów A i B to:

 x\in C_1 \iff x\in A \or x\in B \iff x\in C_2

a zatem na mocy aksjomatu ekstensjonalności mamy C1 = C2.

Ten jedyny zbiór nazywamy sumą A i B i oznaczamy:  A \cup B.

Wersja ogólna[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego zbioru A istnieje zbiór B taki, że dla dowolnego zbioru C, C jest elementem B wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór D będący elementem A i którego elementem jest C. Formalnie:

 \forall A \exist B \forall C (C\in B \iff \exist D (C\in D\in A))

Analogicznie jak dla poprzedniego przypadku, stosując aksjomat ekstensjonalności, można łatwo wykazać istnienie dokładnie jednego takiego zbioru, który nazywamy wtedy sumą (rodziny) \mathcal{A} i oznaczamy \bigcup \mathcal{A}.

Aksjomat sumy można też wypowiedzieć w następujący sposób: dla dowolnego zbioru A istnieje taki zbiór, którego elementami są elementy elementów zbioru A i tylko one.