Lemat Rosenthala

Lemat Rosenthala – twierdzenie dotyczące wspólnej aproksymacji miar skończenie addytywnych określonych na zbiorze potęgowym danego zbioru nieskończonego. Znajduje ono zastosowania w teorii miar wektorowych o wartościach w przestrzeniach Banacha.

Udowodniony przez Haskella Rosenthala w 1970 roku lemat ma zwarty dowód podany przez Josepha Kupkę w 1974 roku, który przytoczono niżej.

Twierdzenie

Niech $\Gamma$ będzie zbiorem nieskończonym oraz niech

$\{\mu _{\gamma }\colon \gamma \in \Gamma \}$

będzie jednostajnie ograniczoną rodziną skończenie addytywnych miar na zbiorze potęgowym zbioru $\Gamma ,$ tj.

$\sup _{\gamma \in \Gamma }\mu _{\gamma }(\Gamma )<\infty .$

Wówczas dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje taki zbiór $X\subseteq \Gamma$ mocy równej mocy zbioru $\Gamma ,$ że

$\mu _{\gamma }(X\setminus \{\gamma \})<\varepsilon$

dla wszelkich $\gamma \in \Gamma .$

Dowód

Gdyby twierdzenie było fałszywe, to istniałaby taka liczba $\varepsilon >0,$ dla której żaden podzbiór $X\subseteq \Gamma$ mocy równej mocy zbioru $\Gamma$ nie czyniłby zadość tezie twierdzenia.

Ponieważ zbiory $\Gamma$ i $\Gamma \times \Gamma$ są równoliczne (na mocy twierdzenia Hessenberga równoważnego aksjomatowi wyboru), zbiór $\Gamma$ można przedstawić w postaci

$\Gamma =\bigcup _{\gamma \in \Gamma }X_{\gamma },$

gdzie rodzina

$\{X_{\gamma }\colon \gamma \in \Gamma \}$

składa się z parami rozłącznych podzbiorów $\Gamma$ mocy równej mocy zbioru $\Gamma .$ Istnieje zatem takie $\gamma _{0}\in \Gamma ,$ że

$\mu _{\gamma }(\Gamma \setminus X_{\gamma _{0}})\geqslant \varepsilon .$

Istotnie, w przeciwnym przypadku można by dla każdego $\gamma \in \Gamma$ wybrać $x_{\gamma }\in X_{\gamma }$ w taki sposób, by

$\mu _{x_{\gamma }}(\Gamma \setminus X_{\gamma })<\varepsilon ,$

wbrew założeniu.

Zastępując zbiór $\Gamma$ zbiorem $X_{\gamma _{0}}$ i iterując ten proces w analogiczny sposób, otrzymałoby się zbiory

$X_{\gamma _{1}},X_{\gamma _{2}},X_{\gamma _{3}},\dots ,$

co po skończenie wielu krokach doprowadziłoby to do sprzeczności z jednostajną ograniczonością rozważanej rodziny miar.

Rzeczywiście, zbiory

$\Gamma \setminus X_{\gamma _{0}},X_{\gamma _{0}}\setminus X_{\gamma _{1}},X_{\gamma _{1}}\setminus X_{\gamma _{2}},\dots$

są parami rozłączne oraz mają miary co najmniej $\varepsilon .$ Z addytywności miar, po skończeniu wielu krokach miara ich sumy przekroczyłaby

$\sup _{\gamma \in \Gamma }\mu _{\gamma }(\Gamma ).$