Aksjomat wyboru

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Aksjomat wyboru (ozn. AC od ang. Axiom of Choice) – jeden z aksjomatów teorii mnogości mówiący o możliwości skonstruowania zbioru (nazywanego selektorem) zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.

Powszechnie przyjmowane aksjomaty Zermelo-Fraenkela (ZF) teorii mnogości rozszerzone o AC oznacza się zwykle skrótem ZFC. Aksjomat ten jest niezależny ZF – można również rozważać modele teorii mnogości oparte na ZF, w których przyjęto negację AC. Z tego powodu choć większość matematyków uznaje i stosuje aksjomat wyboru, to w dowodach twierdzeń go wykorzystujących przyjęło się jednak zaznaczać ten fakt – dowody te nazywa się nieefektywnymi; zwykle są one także niekonstruktywne, gdyż mówią często jedynie o istnieniu danego obiektu, jednak nie wskazują go (nie podają konstrukcji; por. intuicjonizm).

W przypadku ograniczenia się do skończonych rodzin zbiorów aksjomat wyboru jest trywialny (wynika z innych aksjomatów); zastosowany dla nieskończonych rodzin zbiorów również wydaje się intuicyjny, lecz jego konsekwencje bywają zaskakujące, np. Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli (mówiące o możliwości rozkładu kuli w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej na sześć części, z których można złożyć, korzystając wyłącznie z obrotów i przesunięć, dwie kule o średnicy równej średnicy kuli wyjściowej).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Aksjomat wyboru podawany jest zwykle w następującej postaci:

Dla każdej rodziny \scriptstyle \mathcal U niepustych zbiorów rozłącznych istnieje zbiór \scriptstyle V (tzw. selektor), do którego należy dokładnie po jednym elemencie z każdego ze zbiorów należących do rodziny \scriptstyle \mathcal U,
\forall_{\mathcal U} \Big(\big(\forall_{X \in \mathcal{U}} X \ne \varnothing\big) \and \big(\forall_{X, Z \in \mathcal U} (X \ne Z \Rightarrow X \cap Z = \varnothing)\big) \Rightarrow \exists_V \forall_{X \in \mathcal U} \exists_z \big(X \cap V = \{z\}\big)\Big).

Przykładem innego sformułowania aksjomatu wyboru jest twierdzenie Tarskiego:

iloczyn kartezjański dowolnej liczby niepustych zbiorów jest niepusty.

Elementami iloczynu kartezjańskiego \scriptstyle \prod A_i są wszystkie funkcje \scriptstyle f\colon I \to \bigcup A_i spełniające warunek \scriptstyle f(i) \in A_i dla każdego \scriptstyle i \in I, gdzie \scriptstyle I jest ustalonym zbiorem indeksów. Aksjomat wyboru postuluje wtedy, iż

jeśli \scriptstyle \mathcal A = \{A_i\colon i \in I\} jest rodziną niepustych zbiorów, to istnieje taka funkcja \scriptstyle f, nazywana funkcją wyboru dla \scriptstyle \mathcal A, dla której \scriptstyle f(i) \in A_i dla każdego \scriptstyle i \in I.

Równoważniki[edytuj | edytuj kod]

Wśród ważnych twierdzeń równoważnych aksjomatowi wyboru można wymienić następujące wyniki teorii mnogości:

Aksjomat wyboru (często w postaci lematu Kuratowskiego-Zorna) pojawia się w dowodach różnych wyników spoza teorii mnogości, choć często potrzebna jest jedynie jego słabsza wersja (zob. Słabsze formy aksjomatu wyboru), np.

Słabsze formy[edytuj | edytuj kod]

Czasami matematycy asekurując się przed paradoksalnymi następstwami zakładania aksjomatu wyboru ograniczają się do jego słabszych, nierównoważnych wersji. W wielu zastosowaniach są one wystarczające i, nierzadko, wygodniejsze. Część z nich jest podobna do samego aksjomatu wyboru: niektóre ograniczają tylko rozważane rodziny niepustych zbiorów, np. do skończonych (ACF), inne zakładają z kolei, że funkcja wyboru wybiera podzbiór każdego danego niepustego zbioru zamiast elementu.

  • Zasada wyboru
    (skr. SP od ang. Selection Principle)
    Dla każdego zbioru \scriptstyle X istnieje funkcja przyporządkowująca każdemu, co najmniej dwuelementowemu podzbiorowi zbioru \scriptstyle X pewien niepusty, właściwy podzbiór zbioru \scriptstyle X.
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów dających się dobrze uporządkować
    (skr. ACWO od ang. Axiom of Choice for Well Orderable sets)
    Dla każdego zbioru \scriptstyle X istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element \scriptstyle x \in X każdemu niepustemu podzbiorowi zbioru \scriptstyle X dającemu się dobrze uporządkować.
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów skończonych
    (skr. ACF od ang. Axiom of Choice for Finite sets)
    Dla każdego zbioru \scriptstyle X istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element x\in X każdemu niepustemu, skończonemu podzbiorowi zbioru \scriptstyle X.
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów n-elementowych
    (skr. Cn od ang. axiom of Choice for finite sets of n elements)
    Dla każdego zbioru \scriptstyle X istnieje funkcja wybierająca po jednym elemencie z każdego \scriptstyle n-elementowego podzbioru zbioru \scriptstyle X.
  • Przeliczalny aksjomat wyboru
    (skr. CAC od ang. Countable Axiom of Choice albo ACω)
    Dla każdej przeliczalnej rodziny zbiorów istnieje funkcja wyboru.

Inne wersje wynikają z aksjomatu wyboru, ale mają całkowicie od niego odmienną postać:

  • Aksjomat liniowego uporządkowania
    (skr. OP od ang. Ordering Principle)
    Każdy zbiór da się uporządkować liniowo.
  • Aksjomat podziału[5]
    (skr. PP od ang. Partition Principle)
    Każdy zbiór nieskończony da się podzielić na dwa nieskończone, rozłączne zbiory.
  • Zasada wyborów zależnych[6]
    (skr. PDC albo DC od ang. Principle of Dependent Choices)
    Jeśli \scriptstyle R \subseteq X \times X jest taką relacją na niepustym zbiorze \scriptstyle X, że dla dowolnego \scriptstyle x istnieje \scriptstyle y spełniający \scriptstyle x R y, to istnieje ciąg \scriptstyle (x_n) \subseteq X, dla którego \scriptstyle x_i R x_{i+1} dla \scriptstyle i \in \mathbb N.

Prawdziwe są następujące ciągi implikacji:

ACPDCCAC
ACSPOPACF ⇒ ∀n CnCmPP
ACBPIOP
ACACWOACF

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Omar De La Cruz, Carlos Augusto Di Prisco: Weak forms of the axiom of choice and partitions of infinite sets. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998.
  • Thomas Jech: The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973.

Przypisy

  1. Do udowodnienia wystarcza jedna ze słabszych wersji aksjomatu wyboru.
  2. Wymaga jedynie BPI.
  3. Do dowodu wystarcza słabsza wersja aksjomatu wyboru; wraz z BPI twierdzenie pociąga AC.
  4. Produktowane przestrzenie nie muszą być Hausdorffa; jeśli są, to do dowodu wystarczy wtedy BPI.
  5. Aksjomat ten jest bardzo słaby: na przykład nie można przy jego założeniu udowodnić, że każdy nieskończony zbiór da się podzielić na nieskończenie wiele nieskończonych rozłącznych zbiorów.
  6. Już podstawowe twierdzenia w analizie i teorii miary potrzebują założenia PDC albo przynajmniej CC (np. aby udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest sumą przeliczalnej rodziny zbiorów miary zero). Istnienie zbiorów niemierzalnych nie wynika z aksjomatów ZF + PDC, czyli układ ZF + PDC + „każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest mierzalny” jest niesprzeczny.
  7. Ten aksjomat wystarczy, aby udowodnić np. twierdzenie o zwartości, twierdzenie Hahna-Banacha, istnienie zbiorów niemierzalnych, czy twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni Hausdorffa.