Metoda Forda-Fulkersona

Metoda Forda-Fulkersona jest stosowana do znajdowania maksymalnego przepływu w sieci przepływowej. Stanowi podstawę wielu algorytmów, między innymi algorytmu Edmondsa-Karpa czy algorytmu Dinica

Zasadę jej działania można streścić w następujący sposób: Należy zwiększać przepływ wzdłuż dowolnej ścieżki ze źródła do ujścia, dopóki jest to możliwe.

Spis treści

1 Pojęcia
- 1.1 Sieć residualna
- 1.2 Ścieżka powiększająca
2 Algorytm
3 Złożoność czasowa
4 Przykład
5 Bibliografia

[edytuj] Pojęcia

Dla dowolnej sieci przepływowej $G=(V, E)\,$ o źródle $s\,$ i ujściu $t\,$ , w której dowolna krawędź $(u, v)\,$ należąca do zbioru $E\,$ ma przepustowość $c(u, v)\,$ oraz przepływu $f\,$ definiuje się następujące pojęcia:

[edytuj] Sieć residualna

Siecią residualną dla sieci przepływowej $G\,$ nazywamy sieć $G_f = (V, E_f)\,$ , gdzie $E_f\,$ jest zdefiniowane następująco:

$E_f = \left \{ (u, v) \in V \times V: c_f(u, v) > 0 \right \}\,$

gdzie $c_f(u, v)\,$ oznacza tzw. przepustowość residualną dla krawędzi $(u, v)\,$ . Ta natomiast jest dana wzorem:

$c_f(u, v) = c(u, v) - f(u, v)\,$

Krawędzie należące do $E_f\,$ nazywa się krawędziami residualnymi.

Bardziej intuicyjnie, przepustowość residualna dla pewnej krawędzi $(u, v)\,$ oznacza, o ile można zwiększyć przepływ przez nią, tak jednak, aby nie przekroczył on jej przepustowości. Do sieci residualnej natomiast należą te krawędzie, przez które przepływ można zwiększyć.

Należy zwrócić uwagę, że może zachodzić

$c_f(u, v) > c(u, v)\,$ .

Ma to miejsce w przypadku, gdy $f(u, v) < 0\,$ . W szczególności, do $E_f\,$ mogą należeć krawędzie nienależące do $E\,$ .

[edytuj] Ścieżka powiększająca

Ścieżką powiększającą dla sieci $G$ nazywamy dowolną ścieżkę z $s\,$ do $t\,$ w sieci residualnej dla $G\,$ . Przepustowość residualną dowolnej ścieżki powiększającej $p\,$ dla sieci $G\,$ określamy wzorem:

$c_f(p) = \min \left \{ c_f(u, v): (u, v) \in p \right \}$

Jest to wartość, o jaką maksymalnie można zwiększyć przepływ przez wszystkie krawędzie należące do ścieżki $p\,$ .

[edytuj] Algorytm

Poniżej przedstawiono zapis metody Forda-Fulkersona w pseudokodzie:

while istnieje pewna ścieżka powiększająca  do
    for each  do

[edytuj] Złożoność czasowa

Złożoność czasowa metody Forda-Fulkersona silnie zależy od sposobu wyszukiwania ścieżki powiększającej $p\,$ . Można jednak znaleźć jej górne ograniczenie. Zauważmy, że za każdym razem, gdy taka ścieżka zostanie znaleziona, przepływ ze źródła do ujścia zostanie zwiększony co najmniej o 1. Niech $f_{max}\,$ oznacza maksymalny przepływ w sieci $G\,$ . Wtedy pętla while zostanie wykonana w co najwyżej $|f_{max}|\,$ iteracjach. Ponieważ na ścieżce $p\,$ może leżeć co najwyżej $|E|\,$ krawędzi, dla każdej takiej ścieżki pętla for each zostanie zakończona po nie więcej, niż $|E|\,$ przebiegach. Ponieważ również wyszukiwanie ścieżki powiększającej można zrealizować w czasie $O(E)\,$ , złożoność czasowa metody Forda-Fulkersona, to $O\left(Ef_{max}\right)\,$ .

W rzeczywistości, jedna z popularniejszych implementacji tej metody, algorytm Edmondsa-Karpa ma złożoność $O(V E^2)\,$ .

[edytuj] Przykład

Poniższy przykład przedstawia początkowe kroki metody Forda-Fulkersona w sieci z 4 wierzchołkami, źródłem A oraz ujściem D. Ścieżki powiększające są wyszukiwane za pomocą przeszukiwania w głąb, w którym sąsiadujące wierzchołki są odwiedzane w kolejności alfabetycznej. Jest to najgorszy możliwy przypadek, gdyż w każdej iteracji pętli głównej procedury przepływ jest powiększany tylko o 1.

Ścieżka	Przepustowość	Otrzymany przepływ
	Sytuacja początkowa
$A,B,C,D$	$\min\left\{c_f(A,B), c_f(B,C), c_f(C,D)\right\}=$ $\min\left\{c(A,B)-f(A,B), c(B,C)-f(B,C), c(C,D)-f(C,D)\right\}=$ $\min\left\{1000-0, 1-0, 1000-0\right\}=1$
$A,C,B,D$	$\min\left\{c_f(A,C),c_f(C,B),c_f(B,D)\right\}=$ $\min\left\{c(A,C)-f(A,C), c(C,B)-f(C,B), c(B,D)-f(B,D)\right\}=$ $\min\left\{1000-0, 0-(-1), 1000-0\right\}=1$
	$\dots$
	Sytuacja końcowa